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Resolución de integrales/ (x+y)/ (x+y)/(x-y+2)

Integral de (x+y)/(x-y+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |    x + y     
 |  --------- dx
 |  x - y + 2   
 |              
/               
0
∫01x+y(x−y)+2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x + y}{\left(x - y\right) + 2}\, dx 
Integral((x + y)/(x - y + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x+y(x−y)+2=2(y−1)x−y+2+1\frac{x + y}{\left(x - y\right) + 2} = \frac{2 \left(y - 1\right)}{x - y + 2} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2(y−1)x−y+2 dx=(2y−2)∫1x−y+2 dx\int \frac{2 \left(y - 1\right)}{x - y + 2}\, dx = \left(2 y - 2\right) \int \frac{1}{x - y + 2}\, dx

        1. que u=x−y+2u = x - y + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−y+2)\log{\left(x - y + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: (2y−2)log⁡(x−y+2)\left(2 y - 2\right) \log{\left(x - y + 2 \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: x+(2y−2)log⁡(x−y+2)x + \left(2 y - 2\right) \log{\left(x - y + 2 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x+y(x−y)+2=x(x−y)+2+y(x−y)+2\frac{x + y}{\left(x - y\right) + 2} = \frac{x}{\left(x - y\right) + 2} + \frac{y}{\left(x - y\right) + 2}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x(x−y)+2=y−2x−y+2+1\frac{x}{\left(x - y\right) + 2} = \frac{y - 2}{x - y + 2} + 1

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫y−2x−y+2 dx=(y−2)∫1x−y+2 dx\int \frac{y - 2}{x - y + 2}\, dx = \left(y - 2\right) \int \frac{1}{x - y + 2}\, dx

          1. que u=x−y+2u = x - y + 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−y+2)\log{\left(x - y + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: (y−2)log⁡(x−y+2)\left(y - 2\right) \log{\left(x - y + 2 \right)}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: x+(y−2)log⁡(x−y+2)x + \left(y - 2\right) \log{\left(x - y + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫y(x−y)+2 dx=y∫1(x−y)+2 dx\int \frac{y}{\left(x - y\right) + 2}\, dx = y \int \frac{1}{\left(x - y\right) + 2}\, dx

        1. que u=(x−y)+2u = \left(x - y\right) + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡((x−y)+2)\log{\left(\left(x - y\right) + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: ylog⁡((x−y)+2)y \log{\left(\left(x - y\right) + 2 \right)}

      El resultado es: x+ylog⁡((x−y)+2)+(y−2)log⁡(x−y+2)x + y \log{\left(\left(x - y\right) + 2 \right)} + \left(y - 2\right) \log{\left(x - y + 2 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    x+2(y−1)log⁡(x−y+2)x + 2 \left(y - 1\right) \log{\left(x - y + 2 \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x+2(y−1)log⁡(x−y+2)+constantx + 2 \left(y - 1\right) \log{\left(x - y + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x+2(y−1)log⁡(x−y+2)+constantx + 2 \left(y - 1\right) \log{\left(x - y + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                                 
 |   x + y                                         
 | --------- dx = C + x + (-2 + 2*y)*log(2 + x - y)
 | x - y + 2                                       
 |                                                 
/
∫x+y(x−y)+2 dx=C+x+(2y−2)log⁡(x−y+2)\int \frac{x + y}{\left(x - y\right) + 2}\, dx = C + x + \left(2 y - 2\right) \log{\left(x - y + 2 \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
1 - 2*(-1 + y)*log(2 - y) + 2*(-1 + y)*log(3 - y)
−2(y−1)log⁡(2−y)+2(y−1)log⁡(3−y)+1- 2 \left(y - 1\right) \log{\left(2 - y \right)} + 2 \left(y - 1\right) \log{\left(3 - y \right)} + 1 
=
= 
1 - 2*(-1 + y)*log(2 - y) + 2*(-1 + y)*log(3 - y)
−2(y−1)log⁡(2−y)+2(y−1)log⁡(3−y)+1- 2 \left(y - 1\right) \log{\left(2 - y \right)} + 2 \left(y - 1\right) \log{\left(3 - y \right)} + 1 
1 - 2*(-1 + y)*log(2 - y) + 2*(-1 + y)*log(3 - y)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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