Integral de 1/(12e^(8x)+12e^(4x)) dx

1. que $u = e^{4 x}$.

   Luego que $du = 4 e^{4 x} dx$ y ponemos $du$:

   $\int \frac{1}{48 u^{3} + 48 u^{2}}\, du$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{48 u^{3} + 48 u^{2}} = \frac{1}{48 \left(u + 1\right)} - \frac{1}{48 u} + \frac{1}{48 u^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{48 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{48}$

         1. que $u = u + 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{48}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{48 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{48}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{48}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{48 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{48}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{48 u}$

      El resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{48} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{48} - \frac{1}{48 u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{\log{\left(e^{4 x} \right)}}{48} + \frac{\log{\left(e^{4 x} + 1 \right)}}{48} - \frac{e^{- 4 x}}{48}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(e^{4 x} + 1 \right)}}{48} - \frac{\log{\left(e^{4 x} \right)}}{48} - \frac{e^{- 4 x}}{48}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(e^{4 x} + 1 \right)}}{48} - \frac{\log{\left(e^{4 x} \right)}}{48} - \frac{e^{- 4 x}}{48}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(e^{4 x} + 1 \right)}}{48} - \frac{\log{\left(e^{4 x} \right)}}{48} - \frac{e^{- 4 x}}{48}+ \mathrm{constant}$