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Resolución de integrales/ (3x+2)/ (3x+2)ln*x*bx

Integral de (3x+2)ln*x*bx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
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 |                         
 |  (3*x + 2)*log(x)*b*x dx
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0
∫01xb(3x+2)log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} x b \left(3 x + 2\right) \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral((((3*x + 2)*log(x))*b)*x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(3bue3u+2bue2u) du\int \left(3 b u e^{3 u} + 2 b u e^{2 u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3ube3u du=3b∫ue3u du\int 3 u b e^{3 u}\, du = 3 b \int u e^{3 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e3u3 du=∫e3u du3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: 3b(ue3u3−e3u9)3 b \left(\frac{u e^{3 u}}{3} - \frac{e^{3 u}}{9}\right)

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2ube2u du=2b∫ue2u du\int 2 u b e^{2 u}\, du = 2 b \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 2b(ue2u2−e2u4)2 b \left(\frac{u e^{2 u}}{2} - \frac{e^{2 u}}{4}\right)

        El resultado es: 2b(ue2u2−e2u4)+3b(ue3u3−e3u9)2 b \left(\frac{u e^{2 u}}{2} - \frac{e^{2 u}}{4}\right) + 3 b \left(\frac{u e^{3 u}}{3} - \frac{e^{3 u}}{9}\right)

      Si ahora sustituir uu más en:

      2b(x2log⁡(x)2−x24)+3b(x3log⁡(x)3−x39)2 b \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right) + 3 b \left(\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}\right)

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xb(3x+2)log⁡(x)=3bx2log⁡(x)+2bxlog⁡(x)x b \left(3 x + 2\right) \log{\left(x \right)} = 3 b x^{2} \log{\left(x \right)} + 2 b x \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3bx2log⁡(x) dx=3b∫x2log⁡(x) dx\int 3 b x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx = 3 b \int x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue3u du\int u e^{3 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e3u3 du=∫e3u du3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x3log⁡(x)3−x39\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 3b(x3log⁡(x)3−x39)3 b \left(\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2bxlog⁡(x) dx=2b∫xlog⁡(x) dx\int 2 b x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 b \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2b(x2log⁡(x)2−x24)2 b \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right)

      El resultado es: 2b(x2log⁡(x)2−x24)+3b(x3log⁡(x)3−x39)2 b \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right) + 3 b \left(\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}\right)

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xb(3x+2)log⁡(x)=3bx2log⁡(x)+2bxlog⁡(x)x b \left(3 x + 2\right) \log{\left(x \right)} = 3 b x^{2} \log{\left(x \right)} + 2 b x \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3bx2log⁡(x) dx=3b∫x2log⁡(x) dx\int 3 b x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx = 3 b \int x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue3u du\int u e^{3 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e3u3 du=∫e3u du3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x3log⁡(x)3−x39\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 3b(x3log⁡(x)3−x39)3 b \left(\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2bxlog⁡(x) dx=2b∫xlog⁡(x) dx\int 2 b x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 b \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2b(x2log⁡(x)2−x24)2 b \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right)

      El resultado es: 2b(x2log⁡(x)2−x24)+3b(x3log⁡(x)3−x39)2 b \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right) + 3 b \left(\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}\right)

  2. Ahora simplificar:

    bx2(2x(3log⁡(x)−1)+6log⁡(x)−3)6\frac{b x^{2} \left(2 x \left(3 \log{\left(x \right)} - 1\right) + 6 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{6}

  3. Añadimos la constante de integración:

    bx2(2x(3log⁡(x)−1)+6log⁡(x)−3)6+constant\frac{b x^{2} \left(2 x \left(3 \log{\left(x \right)} - 1\right) + 6 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

bx2(2x(3log⁡(x)−1)+6log⁡(x)−3)6+constant\frac{b x^{2} \left(2 x \left(3 \log{\left(x \right)} - 1\right) + 6 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  /   2    2       \       /   3    3       \
 |                                   |  x    x *log(x)|       |  x    x *log(x)|
 | (3*x + 2)*log(x)*b*x dx = C + 2*b*|- -- + ---------| + 3*b*|- -- + ---------|
 |                                   \  4        2    /       \  9        3    /
/
∫xb(3x+2)log⁡(x) dx=C+2b(x2log⁡(x)2−x24)+3b(x3log⁡(x)3−x39)\int x b \left(3 x + 2\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + 2 b \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right) + 3 b \left(\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
-5*b
----
 6
−5b6- \frac{5 b}{6} 
=
= 
-5*b
----
 6
−5b6- \frac{5 b}{6} 
-5*b/6

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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