Integral de Pi/2*(e^y-2)^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\pi}{2} \left(e^{y} - 2\right)^{2}\, dy = \frac{\pi \int \left(e^{y} - 2\right)^{2}\, dy}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{y}$.

         Luego que $du = e^{y} dy$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{2} - 4 u + 4}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 4 u + 4}{u} = u - 4 + \frac{4}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-4\right)\, du = - 4 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{u}\, du = 4 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - 4 u + 4 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 y}}{2} - 4 e^{y} + 4 \log{\left(e^{y} \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{y} - 2\right)^{2} = e^{2 y} - 4 e^{y} + 4$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = 2 y$.

            Luego que $du = 2 dy$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 y}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 e^{y}\right)\, dy = - 4 \int e^{y}\, dy$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{y}\, dy = e^{y}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 e^{y}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, dy = 4 y$

         El resultado es: $4 y + \frac{e^{2 y}}{2} - 4 e^{y}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{y} - 2\right)^{2} = e^{2 y} - 4 e^{y} + 4$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = 2 y$.

            Luego que $du = 2 dy$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 y}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 e^{y}\right)\, dy = - 4 \int e^{y}\, dy$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{y}\, dy = e^{y}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 e^{y}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, dy = 4 y$

         El resultado es: $4 y + \frac{e^{2 y}}{2} - 4 e^{y}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\pi \left(\frac{e^{2 y}}{2} - 4 e^{y} + 4 \log{\left(e^{y} \right)}\right)}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi \left(e^{2 y} - 8 e^{y} + 8 \log{\left(e^{y} \right)}\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi \left(e^{2 y} - 8 e^{y} + 8 \log{\left(e^{y} \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(e^{2 y} - 8 e^{y} + 8 \log{\left(e^{y} \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$