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Resolución de integrales/ Pi/2*(e^y-2)^2

Integral de Pi/2*(e^y-2)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 log(2)               
    /                 
   |                  
   |              2   
   |   pi / y    \    
   |   --*\E  - 2/  dy
   |   2              
   |                  
  /                   
  0
∫0log⁡(2)π2(ey−2)2 dy\int\limits_{0}^{\log{\left(2 \right)}} \frac{\pi}{2} \left(e^{y} - 2\right)^{2}\, dy 
Integral((pi/2)*(E^y - 2)^2, (y, 0, log(2)))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫π2(ey−2)2 dy=π∫(ey−2)2 dy2\int \frac{\pi}{2} \left(e^{y} - 2\right)^{2}\, dy = \frac{\pi \int \left(e^{y} - 2\right)^{2}\, dy}{2}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=eyu = e^{y}.

        Luego que du=eydydu = e^{y} dy y ponemos dudu:

        ∫u2−4u+4u du\int \frac{u^{2} - 4 u + 4}{u}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−4u+4u=u−4+4u\frac{u^{2} - 4 u + 4}{u} = u - 4 + \frac{4}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−4) du=−4u\int \left(-4\right)\, du = - 4 u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4u du=4∫1u du\int \frac{4}{u}\, du = 4 \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(u)4 \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u22−4u+4log⁡(u)\frac{u^{2}}{2} - 4 u + 4 \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2y2−4ey+4log⁡(ey)\frac{e^{2 y}}{2} - 4 e^{y} + 4 \log{\left(e^{y} \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (ey−2)2=e2y−4ey+4\left(e^{y} - 2\right)^{2} = e^{2 y} - 4 e^{y} + 4

      2. Integramos término a término:

        1. que u=2yu = 2 y.

          Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2y2\frac{e^{2 y}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4ey) dy=−4∫ey dy\int \left(- 4 e^{y}\right)\, dy = - 4 \int e^{y}\, dy

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫ey dy=ey\int e^{y}\, dy = e^{y}

          Por lo tanto, el resultado es: −4ey- 4 e^{y}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫4 dy=4y\int 4\, dy = 4 y

        El resultado es: 4y+e2y2−4ey4 y + \frac{e^{2 y}}{2} - 4 e^{y}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (ey−2)2=e2y−4ey+4\left(e^{y} - 2\right)^{2} = e^{2 y} - 4 e^{y} + 4

      2. Integramos término a término:

        1. que u=2yu = 2 y.

          Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2y2\frac{e^{2 y}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4ey) dy=−4∫ey dy\int \left(- 4 e^{y}\right)\, dy = - 4 \int e^{y}\, dy

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫ey dy=ey\int e^{y}\, dy = e^{y}

          Por lo tanto, el resultado es: −4ey- 4 e^{y}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫4 dy=4y\int 4\, dy = 4 y

        El resultado es: 4y+e2y2−4ey4 y + \frac{e^{2 y}}{2} - 4 e^{y}

    Por lo tanto, el resultado es: π(e2y2−4ey+4log⁡(ey))2\frac{\pi \left(\frac{e^{2 y}}{2} - 4 e^{y} + 4 \log{\left(e^{y} \right)}\right)}{2}

  2. Ahora simplificar:

    π(e2y−8ey+8log⁡(ey))4\frac{\pi \left(e^{2 y} - 8 e^{y} + 8 \log{\left(e^{y} \right)}\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    π(e2y−8ey+8log⁡(ey))4+constant\frac{\pi \left(e^{2 y} - 8 e^{y} + 8 \log{\left(e^{y} \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

π(e2y−8ey+8log⁡(ey))4+constant\frac{\pi \left(e^{2 y} - 8 e^{y} + 8 \log{\left(e^{y} \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                         / 2*y                   \
 |                          |e         y        / y\|
 |            2          pi*|---- - 4*e  + 4*log\E /|
 | pi / y    \              \ 2                     /
 | --*\E  - 2/  dy = C + ----------------------------
 | 2                                  2              
 |                                                   
/
∫π2(ey−2)2 dy=C+π(e2y2−4ey+4log⁡(ey))2\int \frac{\pi}{2} \left(e^{y} - 2\right)^{2}\, dy = C + \frac{\pi \left(\frac{e^{2 y}}{2} - 4 e^{y} + 4 \log{\left(e^{y} \right)}\right)}{2}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.65-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  5*pi              
- ---- + 2*pi*log(2)
   4
−5π4+2πlog⁡(2)- \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi \log{\left(2 \right)} 
=
= 
  5*pi              
- ---- + 2*pi*log(2)
   4
−5π4+2πlog⁡(2)- \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi \log{\left(2 \right)} 
-5*pi/4 + 2*pi*log(2)
Respuesta numérica [src] 
0.428181363619963
0.428181363619963

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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