Integral de (sqrt(x)-x^3*e^x+x^3)/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2 u^{5} e^{u^{2}} - 2 u^{5} - 2}{u^{4}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{5} e^{u^{2}} - 2 u^{5} - 2}{u^{4}}\, du = - \int \frac{2 u^{5} e^{u^{2}} - 2 u^{5} - 2}{u^{4}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 u^{5} e^{u^{2}} - 2 u^{5} - 2}{u^{4}} = 2 u e^{u^{2}} - 2 u - \frac{2}{u^{4}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u e^{u^{2}}\, du = 2 \int u e^{u^{2}}\, du$

               1. que $u = u^{2}$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{u^{2}}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $e^{u^{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{u^{4}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{3}}$

            El resultado es: $- u^{2} + e^{u^{2}} + \frac{2}{3 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} - e^{u^{2}} - \frac{2}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x - e^{x} - \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + \left(- e^{x} x^{3} + \sqrt{x}\right)}{x^{3}} = - \frac{- \sqrt{x} + x^{3} e^{x} - x^{3}}{x^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{- \sqrt{x} + x^{3} e^{x} - x^{3}}{x^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{- \sqrt{x} + x^{3} e^{x} - x^{3}}{x^{3}}\, dx$

      1. que $u = - \sqrt{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{2 u^{5} e^{u^{2}} - 2 u^{5} + 2}{u^{4}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 u^{5} e^{u^{2}} - 2 u^{5} + 2}{u^{4}} = 2 u e^{u^{2}} - 2 u + \frac{2}{u^{4}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u e^{u^{2}}\, du = 2 \int u e^{u^{2}}\, du$

               1. que $u = u^{2}$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{u^{2}}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $e^{u^{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{4}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 u^{3}}$

            El resultado es: $- u^{2} + e^{u^{2}} - \frac{2}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x + e^{x} + \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x - e^{x} - \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - e^{x} - \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - e^{x} - \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$