Integral de sin(log(e^t))e^t dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(e^{t} \right)}$.

      Luego que $du = dt$ y ponemos $du$:

      $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

         2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{t} \sin{\left(\log{\left(e^{t} \right)} \right)}}{2} - \frac{e^{t} \cos{\left(\log{\left(e^{t} \right)} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = e^{t}$.

      Luego que $du = e^{t} dt$ y ponemos $du$:

      $\int \sin{\left(\log{\left(u \right)} \right)}\, du$

      1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

         $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

            2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

               $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto,

               $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{u \sin{\left(\log{\left(u \right)} \right)}}{2} - \frac{u \cos{\left(\log{\left(u \right)} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{t} \sin{\left(\log{\left(e^{t} \right)} \right)}}{2} - \frac{e^{t} \cos{\left(\log{\left(e^{t} \right)} \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(\log{\left(e^{t} \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(\log{\left(e^{t} \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(\log{\left(e^{t} \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$