Integral de sin(x)(pi-2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\pi - 2 x\right) \sin{\left(x \right)} = - 2 x \sin{\left(x \right)} + \pi \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \pi \sin{\left(x \right)}\, dx = \pi \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \pi \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} - \pi \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \pi - 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} - \pi \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} - \pi \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$