Integral de sin(2x)/(cosx)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{\cos{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} = \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{\cos{\left(x \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2}{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2}{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$