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Resolución de integrales/ (2x-3)/ (2x-3)*ln2*x

Integral de (2x-3)*ln2*x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
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 |  (2*x - 3)*log(2*x) dx
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0
∫01(2x−3)log⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x - 3\right) \log{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((2*x - 3)*log(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(ulog⁡(u)2−3log⁡(u)2) du\int \left(\frac{u \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(u \right)}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ulog⁡(u)2 du=∫ulog⁡(u) du2\int \frac{u \log{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int u \log{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. que u=log⁡(u)u = \log{\left(u \right)}.

            Luego que du=duudu = \frac{du}{u} y ponemos dudu:

            ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            u2log⁡(u)2−u24\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: u2log⁡(u)4−u28\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{4} - \frac{u^{2}}{8}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3log⁡(u)2) du=−3∫log⁡(u) du2\int \left(- \frac{3 \log{\left(u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{3 \int \log{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

            Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Por lo tanto, el resultado es: −3ulog⁡(u)2+3u2- \frac{3 u \log{\left(u \right)}}{2} + \frac{3 u}{2}

        El resultado es: u2log⁡(u)4−u28−3ulog⁡(u)2+3u2\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{4} - \frac{u^{2}}{8} - \frac{3 u \log{\left(u \right)}}{2} + \frac{3 u}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2log⁡(2x)−x22−3xlog⁡(2x)+3xx^{2} \log{\left(2 x \right)} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x \log{\left(2 x \right)} + 3 x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−3)log⁡(2x)=2xlog⁡(x)+2xlog⁡(2)−3log⁡(x)−3log⁡(2)\left(2 x - 3\right) \log{\left(2 x \right)} = 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)} - 3 \log{\left(x \right)} - 3 \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(x) dx=2∫xlog⁡(x) dx\int 2 x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)−x22x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(2) dx=2log⁡(2)∫x dx\int 2 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2)x^{2} \log{\left(2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3log⁡(x)) dx=−3∫log⁡(x) dx\int \left(- 3 \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: −3xlog⁡(x)+3x- 3 x \log{\left(x \right)} + 3 x

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−3log⁡(2)) dx=−3xlog⁡(2)\int \left(- 3 \log{\left(2 \right)}\right)\, dx = - 3 x \log{\left(2 \right)}

      El resultado es: x2log⁡(x)−x22+x2log⁡(2)−3xlog⁡(x)−3xlog⁡(2)+3xx^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \log{\left(2 \right)} - 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x \log{\left(2 \right)} + 3 x

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(2x)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=2x−3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x - 3.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2x dx=2∫x dx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x2x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−3) dx=−3x\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x

        El resultado es: x2−3xx^{2} - 3 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−3xx=x−3\frac{x^{2} - 3 x}{x} = x - 3

    3. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−3) dx=−3x\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x

      El resultado es: x22−3x\frac{x^{2}}{2} - 3 x

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−3)log⁡(2x)=2xlog⁡(x)+2xlog⁡(2)−3log⁡(x)−3log⁡(2)\left(2 x - 3\right) \log{\left(2 x \right)} = 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)} - 3 \log{\left(x \right)} - 3 \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(x) dx=2∫xlog⁡(x) dx\int 2 x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)−x22x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(2) dx=2log⁡(2)∫x dx\int 2 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2)x^{2} \log{\left(2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3log⁡(x)) dx=−3∫log⁡(x) dx\int \left(- 3 \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: −3xlog⁡(x)+3x- 3 x \log{\left(x \right)} + 3 x

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−3log⁡(2)) dx=−3xlog⁡(2)\int \left(- 3 \log{\left(2 \right)}\right)\, dx = - 3 x \log{\left(2 \right)}

      El resultado es: x2log⁡(x)−x22+x2log⁡(2)−3xlog⁡(x)−3xlog⁡(2)+3xx^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \log{\left(2 \right)} - 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x \log{\left(2 \right)} + 3 x

  2. Ahora simplificar:

    x(2xlog⁡(2x)−x−6log⁡(2x)+6)2\frac{x \left(2 x \log{\left(2 x \right)} - x - 6 \log{\left(2 x \right)} + 6\right)}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(2xlog⁡(2x)−x−6log⁡(2x)+6)2+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(2 x \right)} - x - 6 \log{\left(2 x \right)} + 6\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(2xlog⁡(2x)−x−6log⁡(2x)+6)2+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(2 x \right)} - x - 6 \log{\left(2 x \right)} + 6\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   2                             
 |                                   x     2                        
 | (2*x - 3)*log(2*x) dx = C + 3*x - -- + x *log(2*x) - 3*x*log(2*x)
 |                                   2                              
/
∫(2x−3)log⁡(2x) dx=C+x2log⁡(2x)−x22−3xlog⁡(2x)+3x\int \left(2 x - 3\right) \log{\left(2 x \right)}\, dx = C + x^{2} \log{\left(2 x \right)} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x \log{\left(2 x \right)} + 3 x
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9050-25
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
5/2 - 2*log(2)
52−2log⁡(2)\frac{5}{2} - 2 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
5/2 - 2*log(2)
52−2log⁡(2)\frac{5}{2} - 2 \log{\left(2 \right)} 
5/2 - 2*log(2)
Respuesta numérica [src] 
1.11370563888011
1.11370563888011

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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