Integral de (x^3+5)^2/(2*sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{3} + 5\right)^{2}}{2 \sqrt{x}} = \frac{x^{6} + 10 x^{3} + 25}{2 \sqrt{x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{6} + 10 x^{3} + 25}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{x^{6} + 10 x^{3} + 25}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{50 u^{12} + 20 u^{6} + 2}{u^{14}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{50 u^{12} + 20 u^{6} + 2}{u^{14}}\, du = - \int \frac{50 u^{12} + 20 u^{6} + 2}{u^{14}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{50 u^{12} + 20 u^{6} + 2}{u^{14}} = \frac{50}{u^{2}} + \frac{20}{u^{8}} + \frac{2}{u^{14}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{50}{u^{2}}\, du = 50 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{50}{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{20}{u^{8}}\, du = 20 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{20}{7 u^{7}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u^{14}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{14}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{14}}\, du = - \frac{1}{13 u^{13}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{13 u^{13}}$

               El resultado es: $- \frac{50}{u} - \frac{20}{7 u^{7}} - \frac{2}{13 u^{13}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{50}{u} + \frac{20}{7 u^{7}} + \frac{2}{13 u^{13}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13} + \frac{20 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 50 \sqrt{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{\frac{13}{2}}}{13} + \frac{10 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 25 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{3} + 5\right)^{2}}{2 \sqrt{x}} = \frac{x^{\frac{11}{2}}}{2} + 5 x^{\frac{5}{2}} + \frac{25}{2 \sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{\frac{11}{2}}}{2}\, dx = \frac{\int x^{\frac{11}{2}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{11}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{\frac{13}{2}}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{\frac{5}{2}}\, dx = 5 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{25}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{25 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $25 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{x^{\frac{13}{2}}}{13} + \frac{10 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 25 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{x} \left(7 x^{6} + 130 x^{3} + 2275\right)}{91}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{x} \left(7 x^{6} + 130 x^{3} + 2275\right)}{91}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{x} \left(7 x^{6} + 130 x^{3} + 2275\right)}{91}+ \mathrm{constant}$