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Resolución de integrales/ x^2-4/ (2x-3)/ (2x-3)/(x^2-4x+8)^3

Integral de (2x-3)/(x^2-4x+8)^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |      2*x - 3       
 |  --------------- dx
 |                3   
 |  / 2          \    
 |  \x  - 4*x + 8/    
 |                    
/                     
0
∫012x−3((x2−4x)+8)3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x - 3}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 8\right)^{3}}\, dx 
Integral((2*x - 3)/(x^2 - 4*x + 8)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x−3((x2−4x)+8)3=2x−3x6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512\frac{2 x - 3}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 8\right)^{3}} = \frac{2 x - 3}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      2x−3x6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512=2xx6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512−3x6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512\frac{2 x - 3}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512} = \frac{2 x}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512} - \frac{3}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xx6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512 dx=2∫xx6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512 dx\int \frac{2 x}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          3x3−18x2+56x−8064x4−512x3+2048x2−4096x+4096+3atan⁡(x2−1)128\frac{3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 80}{64 x^{4} - 512 x^{3} + 2048 x^{2} - 4096 x + 4096} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{128}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(3x3−18x2+56x−80)64x4−512x3+2048x2−4096x+4096+3atan⁡(x2−1)64\frac{2 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 80\right)}{64 x^{4} - 512 x^{3} + 2048 x^{2} - 4096 x + 4096} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3x6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512) dx=−3∫1x6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512 dx\int \left(- \frac{3}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          3x3−18x2+56x−64128x4−1024x3+4096x2−8192x+8192+3atan⁡(x2−1)256\frac{3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 64}{128 x^{4} - 1024 x^{3} + 4096 x^{2} - 8192 x + 8192} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{256}

        Por lo tanto, el resultado es: −3(3x3−18x2+56x−64)128x4−1024x3+4096x2−8192x+8192−9atan⁡(x2−1)256- \frac{3 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 64\right)}{128 x^{4} - 1024 x^{3} + 4096 x^{2} - 8192 x + 8192} - \frac{9 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{256}

      El resultado es: 2(3x3−18x2+56x−80)64x4−512x3+2048x2−4096x+4096−3(3x3−18x2+56x−64)128x4−1024x3+4096x2−8192x+8192+3atan⁡(x2−1)256\frac{2 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 80\right)}{64 x^{4} - 512 x^{3} + 2048 x^{2} - 4096 x + 4096} - \frac{3 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 64\right)}{128 x^{4} - 1024 x^{3} + 4096 x^{2} - 8192 x + 8192} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{256}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x−3((x2−4x)+8)3=2xx6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512−3x6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512\frac{2 x - 3}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 8\right)^{3}} = \frac{2 x}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512} - \frac{3}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xx6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512 dx=2∫xx6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512 dx\int \frac{2 x}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          3x3−18x2+56x−8064x4−512x3+2048x2−4096x+4096+3atan⁡(x2−1)128\frac{3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 80}{64 x^{4} - 512 x^{3} + 2048 x^{2} - 4096 x + 4096} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{128}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(3x3−18x2+56x−80)64x4−512x3+2048x2−4096x+4096+3atan⁡(x2−1)64\frac{2 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 80\right)}{64 x^{4} - 512 x^{3} + 2048 x^{2} - 4096 x + 4096} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3x6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512) dx=−3∫1x6−12x5+72x4−256x3+576x2−768x+512 dx\int \left(- \frac{3}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 256 x^{3} + 576 x^{2} - 768 x + 512}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          3x3−18x2+56x−64128x4−1024x3+4096x2−8192x+8192+3atan⁡(x2−1)256\frac{3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 64}{128 x^{4} - 1024 x^{3} + 4096 x^{2} - 8192 x + 8192} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{256}

        Por lo tanto, el resultado es: −3(3x3−18x2+56x−64)128x4−1024x3+4096x2−8192x+8192−9atan⁡(x2−1)256- \frac{3 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 64\right)}{128 x^{4} - 1024 x^{3} + 4096 x^{2} - 8192 x + 8192} - \frac{9 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{256}

      El resultado es: 2(3x3−18x2+56x−80)64x4−512x3+2048x2−4096x+4096−3(3x3−18x2+56x−64)128x4−1024x3+4096x2−8192x+8192+3atan⁡(x2−1)256\frac{2 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 80\right)}{64 x^{4} - 512 x^{3} + 2048 x^{2} - 4096 x + 4096} - \frac{3 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 64\right)}{128 x^{4} - 1024 x^{3} + 4096 x^{2} - 8192 x + 8192} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{256}

  2. Ahora simplificar:

    6x3−36x2+112x+3(x4−8x3+32x2−64x+64)atan⁡(x2−1)−256256(x4−8x3+32x2−64x+64)\frac{6 x^{3} - 36 x^{2} + 112 x + 3 \left(x^{4} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 64 x + 64\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} - 256}{256 \left(x^{4} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 64 x + 64\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    6x3−36x2+112x+3(x4−8x3+32x2−64x+64)atan⁡(x2−1)−256256(x4−8x3+32x2−64x+64)+constant\frac{6 x^{3} - 36 x^{2} + 112 x + 3 \left(x^{4} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 64 x + 64\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} - 256}{256 \left(x^{4} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 64 x + 64\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

6x3−36x2+112x+3(x4−8x3+32x2−64x+64)atan⁡(x2−1)−256256(x4−8x3+32x2−64x+64)+constant\frac{6 x^{3} - 36 x^{2} + 112 x + 3 \left(x^{4} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 64 x + 64\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} - 256}{256 \left(x^{4} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 64 x + 64\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                               /     x\                                                                                        
 |                          3*atan|-1 + -|           /          2      3       \                 /          2      3       \      
 |     2*x - 3                    \     2/         3*\-64 - 18*x  + 3*x  + 56*x/               2*\-80 - 18*x  + 3*x  + 56*x/      
 | --------------- dx = C + -------------- - ------------------------------------------ + ----------------------------------------
 |               3               256                               3        4         2                        3       4         2
 | / 2          \                            8192 - 8192*x - 1024*x  + 128*x  + 4096*x    4096 - 4096*x - 512*x  + 64*x  + 2048*x 
 | \x  - 4*x + 8/                                                                                                                 
 |                                                                                                                                
/
∫2x−3((x2−4x)+8)3 dx=C+2(3x3−18x2+56x−80)64x4−512x3+2048x2−4096x+4096−3(3x3−18x2+56x−64)128x4−1024x3+4096x2−8192x+8192+3atan⁡(x2−1)256\int \frac{2 x - 3}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 8\right)^{3}}\, dx = C + \frac{2 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 80\right)}{64 x^{4} - 512 x^{3} + 2048 x^{2} - 4096 x + 4096} - \frac{3 \left(3 x^{3} - 18 x^{2} + 56 x - 64\right)}{128 x^{4} - 1024 x^{3} + 4096 x^{2} - 8192 x + 8192} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{256}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-0.0500.000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   37    3*atan(1/2)   3*pi
- ---- - ----------- + ----
  3200       256       1024
−373200−3atan⁡(12)256+3π1024- \frac{37}{3200} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{256} + \frac{3 \pi}{1024} 
=
= 
   37    3*atan(1/2)   3*pi
- ---- - ----------- + ----
  3200       256       1024
−373200−3atan⁡(12)256+3π1024- \frac{37}{3200} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{256} + \frac{3 \pi}{1024} 
-37/3200 - 3*atan(1/2)/256 + 3*pi/1024
Respuesta numérica [src] 
-0.00779198569066435
-0.00779198569066435

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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