Integral de (tgx)^3*(secx)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\tan^{4}{\left(x \right)}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. que $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{u}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{2}}{4} - \frac{u}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\tan^{4}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\tan^{4}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$