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Resolución de integrales/ sin(2*x)/ sin(2*x)*e^(2*x/3)

Integral de sin(2*x)*e^(2*x/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |            2*x   
 |            ---   
 |             3    
 |  sin(2*x)*E    dx
 |                  
/                   
0
∫01e2x3sin⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{\frac{2 x}{3}} \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(sin(2*x)*E^((2*x)/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=2xu = 2 x.

    Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

    ∫eu3sin⁡(u)2 du\int \frac{e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}}{2}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫eu3sin⁡(u) du=∫eu3sin⁡(u) du2\int e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando eu3sin⁡(u)e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}:

          que u(u)=sin⁡(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu3\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{3}}.

          Entonces ∫eu3sin⁡(u) du=3eu3sin⁡(u)−∫3eu3cos⁡(u) du\int e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}\, du = 3 e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)} - \int 3 e^{\frac{u}{3}} \cos{\left(u \right)}\, du.

        2. Para el integrando 3eu3cos⁡(u)3 e^{\frac{u}{3}} \cos{\left(u \right)}:

          que u(u)=3cos⁡(u)u{\left(u \right)} = 3 \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu3\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{3}}.

          Entonces ∫eu3sin⁡(u) du=3eu3sin⁡(u)−9eu3cos⁡(u)+∫(−9eu3sin⁡(u)) du\int e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}\, du = 3 e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)} - 9 e^{\frac{u}{3}} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- 9 e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          10∫eu3sin⁡(u) du=3eu3sin⁡(u)−9eu3cos⁡(u)10 \int e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}\, du = 3 e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)} - 9 e^{\frac{u}{3}} \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto,

          ∫eu3sin⁡(u) du=3eu3sin⁡(u)10−9eu3cos⁡(u)10\int e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{3 e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}}{10} - \frac{9 e^{\frac{u}{3}} \cos{\left(u \right)}}{10}

      Por lo tanto, el resultado es: 3eu3sin⁡(u)20−9eu3cos⁡(u)20\frac{3 e^{\frac{u}{3}} \sin{\left(u \right)}}{20} - \frac{9 e^{\frac{u}{3}} \cos{\left(u \right)}}{20}

    Si ahora sustituir uu más en:

    3e2x3sin⁡(2x)20−9e2x3cos⁡(2x)20\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}} \sin{\left(2 x \right)}}{20} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} \cos{\left(2 x \right)}}{20}

  2. Ahora simplificar:

    3(sin⁡(2x)−3cos⁡(2x))e2x320\frac{3 \left(\sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{\frac{2 x}{3}}}{20}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3(sin⁡(2x)−3cos⁡(2x))e2x320+constant\frac{3 \left(\sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{\frac{2 x}{3}}}{20}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3(sin⁡(2x)−3cos⁡(2x))e2x320+constant\frac{3 \left(\sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{\frac{2 x}{3}}}{20}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                                    2*x      2*x         
 |           2*x                      ---      ---         
 |           ---                       3        3          
 |            3           9*cos(2*x)*e      3*e   *sin(2*x)
 | sin(2*x)*E    dx = C - --------------- + ---------------
 |                               20                20      
/
∫e2x3sin⁡(2x) dx=C+3e2x3sin⁡(2x)20−9e2x3cos⁡(2x)20\int e^{\frac{2 x}{3}} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}} \sin{\left(2 x \right)}}{20} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} \cos{\left(2 x \right)}}{20}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
               2/3      2/3       
9    9*cos(2)*e      3*e   *sin(2)
-- - ------------- + -------------
20         20              20
3e23sin⁡(2)20−9e23cos⁡(2)20+920\frac{3 e^{\frac{2}{3}} \sin{\left(2 \right)}}{20} - \frac{9 e^{\frac{2}{3}} \cos{\left(2 \right)}}{20} + \frac{9}{20} 
=
= 
               2/3      2/3       
9    9*cos(2)*e      3*e   *sin(2)
-- - ------------- + -------------
20         20              20
3e23sin⁡(2)20−9e23cos⁡(2)20+920\frac{3 e^{\frac{2}{3}} \sin{\left(2 \right)}}{20} - \frac{9 e^{\frac{2}{3}} \cos{\left(2 \right)}}{20} + \frac{9}{20} 
9/20 - 9*cos(2)*exp(2/3)/20 + 3*exp(2/3)*sin(2)/20
Respuesta numérica [src] 
1.08040494457981
1.08040494457981

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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