Integral de (2x+4)(x^2+4x-8)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{2} + 4 x\right) - 8$.

      Luego que $du = \left(2 x + 4\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 8\right)^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 4\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 8\right)^{3} = 2 x^{7} + 28 x^{6} + 96 x^{5} - 160 x^{4} - 896 x^{3} + 768 x^{2} + 2048 x - 2048$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{7}\, dx = 2 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{8}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 28 x^{6}\, dx = 28 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 96 x^{5}\, dx = 96 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 160 x^{4}\right)\, dx = - 160 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 32 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 896 x^{3}\right)\, dx = - 896 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 224 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 768 x^{2}\, dx = 768 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $256 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2048 x\, dx = 2048 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1024 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-2048\right)\, dx = - 2048 x$

      El resultado es: $\frac{x^{8}}{4} + 4 x^{7} + 16 x^{6} - 32 x^{5} - 224 x^{4} + 256 x^{3} + 1024 x^{2} - 2048 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} + 4 x - 8\right)^{4}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 4 x - 8\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 4 x - 8\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$