Integral de x^2/(x^3-2)4 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 4 \frac{x^{2}}{x^{3} - 2}\, dx = 4 \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 2}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{3} - 2$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x^{3} - 2 \right)}}{3}$

      Método #2

      1. que $u = x^{3}$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{3 u - 6}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 3 u - 6$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{1}{3 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(3 u - 6 \right)}}{3}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{3 u - 6} = \frac{1}{3 \left(u - 2\right)}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{3 \left(u - 2\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 2}\, du}{3}$

               1. que $u = u - 2$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u - 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 2 \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(3 x^{3} - 6 \right)}}{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \log{\left(x^{3} - 2 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \log{\left(x^{3} - 2 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \log{\left(x^{3} - 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \log{\left(x^{3} - 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$