Integral de (t-x)*y(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(t u y + u^{2} y\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2} y\, du = y \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} y}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u t y\, du = t y \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} t y}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3} y}{3} + \frac{u^{2} t y}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{t x^{2} y}{2} - \frac{x^{3} y}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x y \left(t - x\right) = t x y - x^{2} y$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int t x y\, dx = t y \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t x^{2} y}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} y\right)\, dx = - y \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} y}{3}$

      El resultado es: $\frac{t x^{2} y}{2} - \frac{x^{3} y}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} y \left(3 t - 2 x\right)}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} y \left(3 t - 2 x\right)}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} y \left(3 t - 2 x\right)}{6}+ \mathrm{constant}$