Integral de (1-2x):(x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 1}{u - 4}\, du$

      1. que $u = u - 4$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 5}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 5}{u} = 1 + \frac{5}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5}{u}\, du = 5 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 5 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u + 5 \log{\left(u - 4 \right)} - 4$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 x + 5 \log{\left(- 2 x - 4 \right)} - 4$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - 2 x}{x + 2} = -2 + \frac{5}{x + 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x + 2}\, dx = 5 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(x + 2 \right)}$

      El resultado es: $- 2 x + 5 \log{\left(x + 2 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - 2 x}{x + 2} = - \frac{2 x - 1}{x + 2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)\, dx = - \int \frac{2 x - 1}{x + 2}\, dx$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u - 1}{u + 4}\, du$

         1. que $u = u + 4$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u - 5}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u - 5}{u} = 1 - \frac{5}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{5}{u}\right)\, du = - 5 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u - 5 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u - 5 \log{\left(u + 4 \right)} + 4$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 x - 5 \log{\left(2 x + 4 \right)} + 4$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x + 5 \log{\left(2 x + 4 \right)} - 4$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - 2 x}{x + 2} = - \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 x}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{x + 2}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. que $u = x + 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

            El resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. que $u = x + 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x + 2 \right)}$

      El resultado es: $- 2 x + \log{\left(x + 2 \right)} + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 x + 5 \log{\left(- 2 x - 4 \right)} - 4+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 x + 5 \log{\left(- 2 x - 4 \right)} - 4+ \mathrm{constant}$