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Resolución de integrales/ sin^2/ sin^3/ sin^3*x+2/2sin^2*x

Integral de sin^3*x+2/2sin^2*x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
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 |  \sin (x) + sin (x)/ dx
 |                        
/                         
0
∫01(sin⁡3(x)+sin⁡2(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(sin(x)^3 + sin(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡3(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(u2−1) du\int \left(u^{2} - 1\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

          El resultado es: u33−u\frac{u^{3}}{3} - u

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    El resultado es: x2−sin⁡(2x)4+cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2−sin⁡(2x)4+cos⁡3(x)3−cos⁡(x)+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2−sin⁡(2x)4+cos⁡3(x)3−cos⁡(x)+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                         3   
 | /   3         2   \          x            sin(2*x)   cos (x)
 | \sin (x) + sin (x)/ dx = C + - - cos(x) - -------- + -------
 |                              2               4          3   
/
∫(sin⁡3(x)+sin⁡2(x)) dx=C+x2−sin⁡(2x)4+cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\int \left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                3                   
7            cos (1)   cos(1)*sin(1)
- - cos(1) + ------- - -------------
6               3            2
−cos⁡(1)−sin⁡(1)cos⁡(1)2+cos⁡3(1)3+76- \cos{\left(1 \right)} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{7}{6} 
=
= 
                3                   
7            cos (1)   cos(1)*sin(1)
- - cos(1) + ------- - -------------
6               3            2
−cos⁡(1)−sin⁡(1)cos⁡(1)2+cos⁡3(1)3+76- \cos{\left(1 \right)} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{7}{6} 
7/6 - cos(1) + cos(1)^3/3 - cos(1)*sin(1)/2
Respuesta numérica [src] 
0.451616205842438
0.451616205842438

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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