Integral de (2x-3)/(x^2+9)^(1/2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{2 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 9}} = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 9}} - \frac{3}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx$

      1. que $u = x^{2} + 9$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sqrt{x^{2} + 9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{x^{2} + 9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3}{\sqrt{x^{2} + 9}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 1}}\, dx}{3}$

         1. que $u = \frac{x}{3}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

            $\int \frac{9}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du = 3 \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

               InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $3 \operatorname{asinh}{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $3 \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

   El resultado es: $2 \sqrt{x^{2} + 9} - 3 \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x^{2} + 9} - 3 \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x^{2} + 9} - 3 \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x^{2} + 9} - 3 \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}$