Integral de (x+1)*(3*x-1/x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 1\right) \left(3 x - \frac{1}{x}\right) = 3 x^{2} + 3 x - 1 - \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - x - \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 1\right) \left(3 x - \frac{1}{x}\right) = \frac{3 x^{3} + 3 x^{2} - x - 1}{x}$

   2. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{3 u^{3} - 3 u^{2} - u + 1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 u^{3} - 3 u^{2} - u + 1}{u}\, du = - \int \frac{3 u^{3} - 3 u^{2} - u + 1}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{3 u^{3} - 3 u^{2} - u + 1}{u} = 3 u^{2} - 3 u - 1 + \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $u^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-1\right)\, du = - u$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            El resultado es: $u^{3} - \frac{3 u^{2}}{2} - u + \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u^{3} + \frac{3 u^{2}}{2} + u - \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - x - \log{\left(- x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - x - \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - x - \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$