Integral de (2x-1)/(1+(sqrtx-1)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 u^{2} - 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

         El resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3} - 2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x - 1}{\left(\sqrt{x} - 1\right) + 1} = \frac{2 x}{\left(\sqrt{x} - 1\right) + 1} - \frac{1}{\left(\sqrt{x} - 1\right) + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{\left(\sqrt{x} - 1\right) + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{\left(\sqrt{x} - 1\right) + 1}\, dx$

         1. que $u = \sqrt{x}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 u^{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(\sqrt{x} - 1\right) + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(\sqrt{x} - 1\right) + 1}\, dx$

         1. que $u = \sqrt{x}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt{x} \left(\frac{4 x}{3} - 2\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{x} \left(\frac{4 x}{3} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{x} \left(\frac{4 x}{3} - 2\right)+ \mathrm{constant}$