Integral de (e^(3x)+1)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{3 x}$.

      Luego que $du = 3 e^{3 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u} = u + 2 + \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, du = 2 u$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + 2 u + \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{6} + \frac{2 u}{3} + \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{6 x}}{6} + \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{\log{\left(e^{3 x} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(e^{3 x} + 1\right)^{2} = e^{6 x} + 2 e^{3 x} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 6 x$.

         Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{e^{u}}{6}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{6 x}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{3 x}\, dx = 2 \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{3 x}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $x + \frac{e^{6 x}}{6} + \frac{2 e^{3 x}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(e^{3 x} + 1\right)^{2} = e^{6 x} + 2 e^{3 x} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 6 x$.

         Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{e^{u}}{6}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{6 x}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{3 x}\, dx = 2 \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{3 x}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $x + \frac{e^{6 x}}{6} + \frac{2 e^{3 x}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{e^{6 x}}{6} + \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{\log{\left(e^{3 x} \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{6 x}}{6} + \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{\log{\left(e^{3 x} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{6 x}}{6} + \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{\log{\left(e^{3 x} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$