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Resolución de integrales/ cos^2/ 1/sin/ sin^2/ 1/sin^2x+4cos^2x

Integral de 1/sin^2x+4cos^2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                         
 --                         
 4                          
  /                         
 |                          
 |  /   1           2   \   
 |  |------- + 4*cos (x)| dx
 |  |   2               |   
 |  \sin (x)            /   
 |                          
/                           
0
∫0π4(4cos⁡2(x)+1sin⁡2(x)) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx 
Integral(1/(sin(x)^2) + 4*cos(x)^2, (x, 0, pi/4))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4cos⁡2(x) dx=4∫cos⁡2(x) dx\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 2x+sin⁡(2x)2 x + \sin{\left(2 x \right)}

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      −cos⁡(x)sin⁡(x)- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

    El resultado es: 2x+sin⁡(2x)−cos⁡(x)sin⁡(x)2 x + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    2x+sin⁡(2x)−1tan⁡(x)2 x + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2x+sin⁡(2x)−1tan⁡(x)+constant2 x + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x+sin⁡(2x)−1tan⁡(x)+constant2 x + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                                                       
 | /   1           2   \                cos(x)           
 | |------- + 4*cos (x)| dx = C + 2*x - ------ + sin(2*x)
 | |   2               |                sin(x)           
 | \sin (x)            /                                 
 |                                                       
/
∫(4cos⁡2(x)+1sin⁡2(x)) dx=C+2x+sin⁡(2x)−cos⁡(x)sin⁡(x)\int \left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = C + 2 x + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.75-50000000100000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
1.75598925958649e+19
1.75598925958649e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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