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Resolución de integrales/ (3x^2)/ x^2-1/ (3x^2)/(6x^2-1)

Integral de (3x^2)/(6x^2-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |       2     
 |    3*x      
 |  -------- dx
 |     2       
 |  6*x  - 1   
 |             
/              
0
∫013x26x2−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x^{2}}{6 x^{2} - 1}\, dx 
Integral((3*x^2)/(6*x^2 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    3x26x2−1=12+12(6x2−1)\frac{3 x^{2}}{6 x^{2} - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(6 x^{2} - 1\right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫12(6x2−1) dx=∫16x2−1 dx2\int \frac{1}{2 \left(6 x^{2} - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{6 x^{2} - 1}\, dx}{2}

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=6, c=-1, context=1/(6*x**2 - 1), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=6, c=-1, context=1/(6*x**2 - 1), symbol=x), x**2 > 1/6), (ArctanhRule(a=1, b=6, c=-1, context=1/(6*x**2 - 1), symbol=x), x**2 < 1/6)], context=1/(6*x**2 - 1), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: {−6acoth⁡(6x)6for x2>16−6atanh⁡(6x)6for x2<162\frac{\begin{cases} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{6} \\- \frac{\sqrt{6} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{6} \end{cases}}{2}

    El resultado es: x2+{−6acoth⁡(6x)6for x2>16−6atanh⁡(6x)6for x2<162\frac{x}{2} + \frac{\begin{cases} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{6} \\- \frac{\sqrt{6} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{6} \end{cases}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    {x2−6acoth⁡(6x)12for x2>16x2−6atanh⁡(6x)12for x2<16\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{12} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{6} \\\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{12} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{6} \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {x2−6acoth⁡(6x)12for x2>16x2−6atanh⁡(6x)12for x2<16+constant\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{12} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{6} \\\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{12} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{6} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{x2−6acoth⁡(6x)12for x2>16x2−6atanh⁡(6x)12for x2<16+constant\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{12} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{6} \\\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{12} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{6} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                         /   ___      /    ___\               
                         |-\/ 6 *acoth\x*\/ 6 /        2      
                         |----------------------  for x  > 1/6
                         |          6                         
                         <                                    
  /                      |   ___      /    ___\               
 |                       |-\/ 6 *atanh\x*\/ 6 /        2      
 |      2                |----------------------  for x  < 1/6
 |   3*x             x   \          6                         
 | -------- dx = C + - + -------------------------------------
 |    2              2                     2                  
 | 6*x  - 1                                                   
 |                                                            
/
∫3x26x2−1 dx=C+x2+{−6acoth⁡(6x)6for x2>16−6atanh⁡(6x)6for x2<162\int \frac{3 x^{2}}{6 x^{2} - 1}\, dx = C + \frac{x}{2} + \frac{\begin{cases} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{6} \\- \frac{\sqrt{6} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{6} x \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{6} \end{cases}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-50005000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan
Respuesta numérica [src] 
0.366110563020135
0.366110563020135

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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