Integral de 25(5x+3)^4 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 25 \left(5 x + 3\right)^{4}\, dx = 25 \int \left(5 x + 3\right)^{4}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 5 x + 3$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{u^{4}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{25}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(5 x + 3\right)^{5}}{25}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(5 x + 3\right)^{4} = 625 x^{4} + 1500 x^{3} + 1350 x^{2} + 540 x + 81$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 625 x^{4}\, dx = 625 \int x^{4}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $125 x^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1500 x^{3}\, dx = 1500 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $375 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1350 x^{2}\, dx = 1350 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $450 x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 540 x\, dx = 540 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $270 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 81\, dx = 81 x$

         El resultado es: $125 x^{5} + 375 x^{4} + 450 x^{3} + 270 x^{2} + 81 x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\left(5 x + 3\right)^{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(5 x + 3\right)^{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(5 x + 3\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(5 x + 3\right)^{5}+ \mathrm{constant}$