Sr Examen

Integral de sin3xsinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  sin(3*x)*sin(x) dx
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0                     
01sin(x)sin(3x)dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}\, dx
Integral(sin(3*x)*sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin(x)sin(3x)=4sin4(x)+3sin2(x)\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} = - 4 \sin^{4}{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (4sin4(x))dx=4sin4(x)dx\int \left(- 4 \sin^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin4(x)=(12cos(2x)2)2\sin^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (12cos(2x)2)2=cos2(2x)4cos(2x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos2(2x)4dx=cos2(2x)dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (cos(2x)2)dx=cos(2x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            14dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8sin(2x)4+sin(4x)32\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (12cos(2x)2)2=cos2(2x)4cos(2x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos2(2x)4dx=cos2(2x)dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (cos(2x)2)dx=cos(2x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            14dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8sin(2x)4+sin(4x)32\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x2+sin(2x)sin(4x)8- \frac{3 x}{2} + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      3sin2(x)dx=3sin2(x)dx\int 3 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin2(x)=12cos(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (cos(2x)2)dx=cos(2x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2sin(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x23sin(2x)4\frac{3 x}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

    El resultado es: sin(2x)4sin(4x)8\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

  3. Ahora simplificar:

    sin3(x)cos(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    sin3(x)cos(x)+constant\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

sin3(x)cos(x)+constant\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                            
 |                          sin(4*x)   sin(2*x)
 | sin(3*x)*sin(x) dx = C - -------- + --------
 |                             8          4    
/                                              
sin(x)sin(3x)dx=C+sin(2x)4sin(4x)8\int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Respuesta [src]
  3*cos(3)*sin(1)   cos(1)*sin(3)
- --------------- + -------------
         8                8      
sin(3)cos(1)83sin(1)cos(3)8\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8}
=
=
  3*cos(3)*sin(1)   cos(1)*sin(3)
- --------------- + -------------
         8                8      
sin(3)cos(1)83sin(1)cos(3)8\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8}
-3*cos(3)*sin(1)/8 + cos(1)*sin(3)/8
Respuesta numérica [src]
0.321924668619911
0.321924668619911

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.