Integral de x(2+3x)^1/3 dx

1. que $u = \sqrt[3]{3 x + 2}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{\left(3 x + 2\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(\frac{2 u^{3}}{3} + 3 \left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{2}{3}\right)^{2} - \frac{4}{3}\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{3}}{3}\, du = \frac{2 \int u^{3}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{2}{3}\right)^{2}\, du = 3 \int \left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{2}{3}\right)^{2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{u^{6}}{9} - \frac{4 u^{3}}{9} + \frac{4}{9}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{6}}{9}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{9}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{63}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{4 u^{3}}{9}\right)\, du = - \frac{4 \int u^{3}\, du}{9}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{9}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{4}{9}\, du = \frac{4 u}{9}$

            El resultado es: $\frac{u^{7}}{63} - \frac{u^{4}}{9} + \frac{4 u}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{21} - \frac{u^{4}}{3} + \frac{4 u}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{4}{3}\right)\, du = - \frac{4 u}{3}$

      El resultado es: $\frac{u^{7}}{21} - \frac{u^{4}}{6}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\left(3 x + 2\right)^{\frac{7}{3}}}{21} - \frac{\left(3 x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - 1\right) \left(3 x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}{14}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - 1\right) \left(3 x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}{14}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - 1\right) \left(3 x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}{14}+ \mathrm{constant}$