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Resolución de integrales/ cos3x/ (3x+5)/ (3x+5)cos3x

Integral de (3x+5)cos3x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                     
   /                      
  |                       
  |  (3*x + 5)*cos(3*x) dx
  |                       
 /                        
 0
∫02π(3x+5)cos⁡(3x) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(3 x + 5\right) \cos{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral((3*x + 5)*cos(3*x), (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos dudu:

      ∫(ucos⁡(u)3+5cos⁡(u)3) du\int \left(\frac{u \cos{\left(u \right)}}{3} + \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{3}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ucos⁡(u)3 du=∫ucos⁡(u) du3\int \frac{u \cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int u \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: usin⁡(u)3+cos⁡(u)3\frac{u \sin{\left(u \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫5cos⁡(u)3 du=5∫cos⁡(u) du3\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)3\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{3}

        El resultado es: usin⁡(u)3+5sin⁡(u)3+cos⁡(u)3\frac{u \sin{\left(u \right)}}{3} + \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xsin⁡(3x)+5sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)3x \sin{\left(3 x \right)} + \frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+5)cos⁡(3x)=3xcos⁡(3x)+5cos⁡(3x)\left(3 x + 5\right) \cos{\left(3 x \right)} = 3 x \cos{\left(3 x \right)} + 5 \cos{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xcos⁡(3x) dx=3∫xcos⁡(3x) dx\int 3 x \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 3 \int x \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(3x)3 dx=∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x)9- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(3x)+cos⁡(3x)3x \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡(3x) dx=5∫cos⁡(3x) dx\int 5 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 5 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(3x)3\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: xsin⁡(3x)+5sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)3x \sin{\left(3 x \right)} + \frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3x+5u{\left(x \right)} = 3 x + 5 y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

      ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+5)cos⁡(3x)=3xcos⁡(3x)+5cos⁡(3x)\left(3 x + 5\right) \cos{\left(3 x \right)} = 3 x \cos{\left(3 x \right)} + 5 \cos{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xcos⁡(3x) dx=3∫xcos⁡(3x) dx\int 3 x \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 3 \int x \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(3x)3 dx=∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x)9- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(3x)+cos⁡(3x)3x \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡(3x) dx=5∫cos⁡(3x) dx\int 5 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 5 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(3x)3\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: xsin⁡(3x)+5sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)3x \sin{\left(3 x \right)} + \frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(3x)+5sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)3+constantx \sin{\left(3 x \right)} + \frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(3x)+5sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)3+constantx \sin{\left(3 x \right)} + \frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                             cos(3*x)   5*sin(3*x)             
 | (3*x + 5)*cos(3*x) dx = C + -------- + ---------- + x*sin(3*x)
 |                                3           3                  
/
∫(3x+5)cos⁡(3x) dx=C+xsin⁡(3x)+5sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)3\int \left(3 x + 5\right) \cos{\left(3 x \right)}\, dx = C + x \sin{\left(3 x \right)} + \frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
-5.85830004735115e-15
-5.85830004735115e-15

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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