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Resolución de integrales/ (4/x)/ arcsin/ x*arcsin(4/x)

Integral de x*arcsin(4/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |        /4\   
 |  x*asin|-| dx
 |        \x/   
 |              
/               
0
∫01xasin⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}\, dx 
Integral(x*asin(4/x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=asin⁡(4x)u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

    Entonces du⁡(x)=−4x21−16x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{4}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{16}{x^{2}}}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−21−16x2) dx=−2∫11−16x2 dx\int \left(- \frac{2}{\sqrt{1 - \frac{16}{x^{2}}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{16}{x^{2}}}}\, dx

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      {x2−16for ∣x2∣16>1i16−x2otherwese\begin{cases} \sqrt{x^{2} - 16} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{16} > 1 \\i \sqrt{16 - x^{2}} & \text{otherwese} \end{cases}

    Por lo tanto, el resultado es: −2({x2−16for ∣x2∣16>1i16−x2otherwese)- 2 \left(\begin{cases} \sqrt{x^{2} - 16} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{16} > 1 \\i \sqrt{16 - x^{2}} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

  3. Ahora simplificar:

    {x2asin⁡(4x)2+2x2−16for ∣x2∣16>1x2asin⁡(4x)2+2i16−x2otherwese\begin{cases} \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{2} + 2 \sqrt{x^{2} - 16} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{16} > 1 \\\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{2} + 2 i \sqrt{16 - x^{2}} & \text{otherwese} \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {x2asin⁡(4x)2+2x2−16for ∣x2∣16>1x2asin⁡(4x)2+2i16−x2otherwese+constant\begin{cases} \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{2} + 2 \sqrt{x^{2} - 16} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{16} > 1 \\\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{2} + 2 i \sqrt{16 - x^{2}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{x2asin⁡(4x)2+2x2−16for ∣x2∣16>1x2asin⁡(4x)2+2i16−x2otherwese+constant\begin{cases} \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{2} + 2 \sqrt{x^{2} - 16} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{16} > 1 \\\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{2} + 2 i \sqrt{16 - x^{2}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                        //   __________       | 2|    \             
  /                     ||  /        2        |x |    |    2     /4\
 |                      ||\/  -16 + x     for ---- > 1|   x *asin|-|
 |       /4\            ||                     16     |          \x/
 | x*asin|-| dx = C + 2*|<                            | + ----------
 |       \x/            ||     _________              |       2     
 |                      ||    /       2               |             
/                       ||I*\/  16 - x     otherwise  |             
                        \\                            /
∫xasin⁡(4x) dx=C+x2asin⁡(4x)2+2({x2−16for ∣x2∣16>1i16−x2otherwise)\int x \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{2} + 2 \left(\begin{cases} \sqrt{x^{2} - 16} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{16} > 1 \\i \sqrt{16 - x^{2}} & \text{otherwise} \end{cases}\right)
Simplificar
Gráfica
-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0100.0000.0020.0040.0060.0080.00
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1             
  /             
 |              
 |        /4\   
 |  x*asin|-| dx
 |        \x/   
 |              
/               
0
∫01xasin⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}\, dx 
=
= 
  1             
  /             
 |              
 |        /4\   
 |  x*asin|-| dx
 |        \x/   
 |              
/               
0
∫01xasin⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left(\frac{4}{x} \right)}\, dx 
Integral(x*asin(4/x), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
(0.785398163397448 - 1.28575184203295j)
(0.785398163397448 - 1.28575184203295j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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