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Resolución de integrales/ x^2+1/ dx÷(x^2(√x^2+1)^2)

Integral de dx÷(x^2(√x^2+1)^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
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 |  ---------------- dx
 |                 2   
 |     /     2    \    
 |   2 |  ___     |    
 |  x *\\/ x   + 1/    
 |                     
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0
∫011x2((x)2+1)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} \left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 1\right)^{2}}\, dx 
Integral(1/(x^2*((sqrt(x))^2 + 1)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x2((x)2+1)2=1x4+2x3+x2\frac{1}{x^{2} \left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x4+2x3+x2=2x+1+1(x+1)2−2x+1x2\frac{1}{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x+1 dx=2∫1x+1 dx\int \frac{2}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x+1)2 \log{\left(x + 1 \right)}

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −1x+1- \frac{1}{x + 1}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x) dx=−2∫1x dx\int \left(- \frac{2}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x)- 2 \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: −2log⁡(x)+2log⁡(x+1)−1x+1−1x- 2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x2((x)2+1)2=1x4+2x3+x2\frac{1}{x^{2} \left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x4+2x3+x2=2x+1+1(x+1)2−2x+1x2\frac{1}{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x+1 dx=2∫1x+1 dx\int \frac{2}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x+1)2 \log{\left(x + 1 \right)}

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −1x+1- \frac{1}{x + 1}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x) dx=−2∫1x dx\int \left(- \frac{2}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x)- 2 \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: −2log⁡(x)+2log⁡(x+1)−1x+1−1x- 2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}

  2. Ahora simplificar:

    2x(x+1)(−log⁡(x)+log⁡(x+1))−2x−1x(x+1)\frac{2 x \left(x + 1\right) \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) - 2 x - 1}{x \left(x + 1\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2x(x+1)(−log⁡(x)+log⁡(x+1))−2x−1x(x+1)+constant\frac{2 x \left(x + 1\right) \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) - 2 x - 1}{x \left(x + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x(x+1)(−log⁡(x)+log⁡(x+1))−2x−1x(x+1)+constant\frac{2 x \left(x + 1\right) \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) - 2 x - 1}{x \left(x + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |        1                  1     1                            
 | ---------------- dx = C - - - ----- - 2*log(x) + 2*log(1 + x)
 |                2          x   1 + x                          
 |    /     2    \                                              
 |  2 |  ___     |                                              
 | x *\\/ x   + 1/                                              
 |                                                              
/
∫1x2((x)2+1)2 dx=C−2log⁡(x)+2log⁡(x+1)−1x+1−1x\int \frac{1}{x^{2} \left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 1\right)^{2}}\, dx = C - 2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-100000000100000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
1.3793236779486e+19
1.3793236779486e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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