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Resolución de integrales/ xcosx/ xcosx-2

Integral de xcosx-2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x                  
  -                  
  2                  
  /                  
 |                   
 |  (x*cos(x) - 2) dx
 |                   
/                    
0
∫0x2(xcos⁡(x)−2) dx\int\limits_{0}^{\frac{x}{2}} \left(x \cos{\left(x \right)} - 2\right)\, dx 
Integral(x*cos(x) - 2, (x, 0, x/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

    El resultado es: xsin⁡(x)−2x+cos⁡(x)x \sin{\left(x \right)} - 2 x + \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(x)−2x+cos⁡(x)+constantx \sin{\left(x \right)} - 2 x + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(x)−2x+cos⁡(x)+constantx \sin{\left(x \right)} - 2 x + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                                                
 | (x*cos(x) - 2) dx = C - 2*x + x*sin(x) + cos(x)
 |                                                
/
∫(xcos⁡(x)−2) dx=C+xsin⁡(x)−2x+cos⁡(x)\int \left(x \cos{\left(x \right)} - 2\right)\, dx = C + x \sin{\left(x \right)} - 2 x + \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
              /x\         
         x*sin|-|         
              \2/      /x\
-1 - x + -------- + cos|-|
            2          \2/
xsin⁡(x2)2−x+cos⁡(x2)−1\frac{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - x + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 
=
= 
              /x\         
         x*sin|-|         
              \2/      /x\
-1 - x + -------- + cos|-|
            2          \2/
xsin⁡(x2)2−x+cos⁡(x2)−1\frac{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - x + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 
-1 - x + x*sin(x/2)/2 + cos(x/2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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