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Resolución de integrales/ x^2（-x+1）+（1/3）*（-x+1）^3

Integral de x^2（-x+1）+（1/3）*（-x+1）^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
 |                              
 |  /                      3\   
 |  | 2            (-x + 1) |   
 |  |x *(-x + 1) + ---------| dx
 |  \                  3    /   
 |                              
/                               
0
∫01(x2(1−x)+(1−x)33) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x^{2} \left(1 - x\right) + \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{3}\right)\, dx 
Integral(x^2*(-x + 1) + (-x + 1)^3/3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=−xu = - x.

        Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

        ∫(−u3−u2) du\int \left(- u^{3} - u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u3) du=−∫u3 du\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: −u44−u33- \frac{u^{4}}{4} - \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −x44+x33- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2(1−x)=−x3+x2x^{2} \left(1 - x\right) = - x^{3} + x^{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x3) dx=−∫x3 dx\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −x44- \frac{x^{4}}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        El resultado es: −x44+x33- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(1−x)33 dx=∫(1−x)3 dx3\int \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{3}\, dx = \frac{\int \left(1 - x\right)^{3}\, dx}{3}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=1−xu = 1 - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −(1−x)44- \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{4}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−x)3=−x3+3x2−3x+1\left(1 - x\right)^{3} = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−x3) dx=−∫x3 dx\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −x44- \frac{x^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3x2 dx=3∫x2 dx\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: x3x^{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3x) dx=−3∫x dx\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −3x22- \frac{3 x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          El resultado es: −x44+x3−3x22+x- \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x

      Por lo tanto, el resultado es: −(1−x)412- \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{12}

    El resultado es: −x44+x33−(1−x)412- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{12}

  2. Ahora simplificar:

    −x44+x33−(x−1)412- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x44+x33−(x−1)412+constant- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x44+x33−(x−1)412+constant- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                                                       
 | /                      3\           4           4    3
 | | 2            (-x + 1) |          x    (-x + 1)    x 
 | |x *(-x + 1) + ---------| dx = C - -- - --------- + --
 | \                  3    /          4        12      3 
 |                                                       
/
∫(x2(1−x)+(1−x)33) dx=C−x44+x33−(1−x)412\int \left(x^{2} \left(1 - x\right) + \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{3}\right)\, dx = C - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{12}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/6
16\frac{1}{6} 
=
= 
1/6
16\frac{1}{6} 
1/6
Respuesta numérica [src] 
0.166666666666667
0.166666666666667

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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