Integral de (e^x-x)/((2*x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\left(u e^{u} + 1\right) e^{- u}}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\left(u e^{u} + 1\right) e^{- u}}{u}\, du = \frac{\int \frac{\left(u e^{u} + 1\right) e^{- u}}{u}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\left(u + e^{\frac{1}{u}}\right) e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\left(u + e^{\frac{1}{u}}\right) e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\left(u + e^{\frac{1}{u}}\right) e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{\left(u + e^{\frac{1}{u}}\right) e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}} = \frac{e^{- \frac{1}{u}}}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. que $u = \frac{1}{u}$.

                     Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- \frac{e^{- u}}{u}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{e^{- u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{- u}}{u}\, du$

                        EiRule(a=-1, b=0, context=exp(-_u)/_u, symbol=_u)

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(- u \right)}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{u} \right)}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  El resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{u} \right)} - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{u} \right)} + \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u + \operatorname{Ei}{\left(- u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\operatorname{Ei}{\left(- u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} - x}{2 x} = - \frac{x - e^{x}}{2 x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x - e^{x}}{2 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x - e^{x}}{x}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u e^{\frac{1}{u}} - 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u e^{\frac{1}{u}} - 1}{u^{2}} = \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u} - \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{e^{u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{u}}{u}\, du$

                  EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

            El resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)} + \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} - x}{2 x} = - \frac{1}{2} + \frac{e^{x}}{2 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{x}}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{e^{x}}{x}\, dx}{2}$

         EiRule(a=1, b=0, context=exp(x)/x, symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$