Integral de Sin^3x/cos^4x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{4}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{2} - 1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{u^{4}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{3 u^{3}}$

         El resultado es: $- \frac{1}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{4}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{4}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{2} - 1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{u^{4}}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{3 u^{3}}$

               El resultado es: $- \frac{1}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{-3 + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{3 \cos{\left(x \right)}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{-3 + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{3 \cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{-3 + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{3 \cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$