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Resolución de integrales/ sin^4/ cos^4/ sin^43tcos^43tdt

Integral de sin^43tcos^43tdt dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                       
  /                       
 |                        
 |     4         4        
 |  sin (3*t)*cos (3*t) dt
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(3 t \right)} \cos^{4}{\left(3 t \right)}\, dt$$

Integral(sin(3*t)^4*cos(3*t)^4, (t, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{4}{\left(3 t \right)} \cos^{4}{\left(3 t \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(6 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(6 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{4}{\left(6 t \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(6 t \right)}}{8} + \frac{1}{16}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{4}{\left(6 t \right)}}{16}\, dt = \frac{\int \cos^{4}{\left(6 t \right)}\, dt}{16}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{4}{\left(6 t \right)} = \left(\frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(12 t \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(12 t \right)}}{4}\, dt = \frac{\int \cos^{2}{\left(12 t \right)}\, dt}{4}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(12 t \right)} = \frac{\cos{\left(24 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(24 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(24 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 24 t$ .
      
      Luego que $du = 24 dt$ y ponemos $\frac{du}{24}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{24}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{24}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{24}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(24 t \right)}}{24}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(24 t \right)}}{48}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{48}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t}{8} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{192}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(12 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 12 t$ .
      
      Luego que $du = 12 dt$ y ponemos $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{12}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dt = \frac{t}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{3 t}{8} + \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{192}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(12 t \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(12 t \right)}}{4}\, dt = \frac{\int \cos^{2}{\left(12 t \right)}\, dt}{4}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(12 t \right)} = \frac{\cos{\left(24 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(24 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(24 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 24 t$ .
      
      Luego que $du = 24 dt$ y ponemos $\frac{du}{24}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{24}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{24}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{24}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(24 t \right)}}{24}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(24 t \right)}}{48}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{48}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t}{8} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{192}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(12 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 12 t$ .
      
      Luego que $du = 12 dt$ y ponemos $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{12}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dt = \frac{t}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{3 t}{8} + \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{192}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 t}{128} + \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{384} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{3072}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(6 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(6 t \right)}\, dt}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(6 t \right)} = \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(12 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 12 t$ .
      
      Luego que $du = 12 dt$ y ponemos $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{12}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t}{16} - \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{192}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{16}\, dt = \frac{t}{16}$
  El resultado es: $\frac{3 t}{128} - \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{384} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{3072}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(6 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{4}{\left(6 t \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(6 t \right)}}{8} + \frac{1}{16}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{4}{\left(6 t \right)}}{16}\, dt = \frac{\int \cos^{4}{\left(6 t \right)}\, dt}{16}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{4}{\left(6 t \right)} = \left(\frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
    2. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(12 t \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
    3. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(12 t \right)}}{4}\, dt = \frac{\int \cos^{2}{\left(12 t \right)}\, dt}{4}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(12 t \right)} = \frac{\cos{\left(24 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(24 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(24 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 24 t$ .
      
      Luego que $du = 24 dt$ y ponemos $\frac{du}{24}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{24}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{24}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{24}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(24 t \right)}}{24}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(24 t \right)}}{48}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{48}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t}{8} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{192}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(12 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 12 t$ .
      
      Luego que $du = 12 dt$ y ponemos $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{12}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dt = \frac{t}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{3 t}{8} + \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{192}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 t}{128} + \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{384} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{3072}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(6 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(6 t \right)}\, dt}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(6 t \right)} = \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(12 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 12 t$ .
      
      Luego que $du = 12 dt$ y ponemos $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{12}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{24}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t}{16} - \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{192}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{16}\, dt = \frac{t}{16}$
  El resultado es: $\frac{3 t}{128} - \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{384} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{3072}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{3 t}{128} - \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{384} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{3072}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 t}{128} - \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{384} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{3072}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                        
 |                                                         
 |    4         4               sin(12*t)   sin(24*t)   3*t
 | sin (3*t)*cos (3*t) dt = C - --------- + --------- + ---
 |                                 384         3072     128
/

$$\int \sin^{4}{\left(3 t \right)} \cos^{4}{\left(3 t \right)}\, dt = C + \frac{3 t}{128} - \frac{\sin{\left(12 t \right)}}{384} + \frac{\sin{\left(24 t \right)}}{3072}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                         3          
 3    cos(6)*sin(6)   sin (6)*cos(6)
--- - ------------- - --------------
128        256             384

$$- \frac{\sin^{3}{\left(6 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{384} - \frac{\sin{\left(6 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{256} + \frac{3}{128}$$

                         3          
 3    cos(6)*sin(6)   sin (6)*cos(6)
--- - ------------- - --------------
128        256             384

$$- \frac{\sin^{3}{\left(6 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{384} - \frac{\sin{\left(6 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{256} + \frac{3}{128}$$

3/128 - cos(6)*sin(6)/256 - sin(6)^3*cos(6)/384

Respuesta numérica [src]

0.0245400406842438

0.0245400406842438

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin^43tcos^43tdt dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #2