Integral de ((x^(-1/3))-1)/(x^(2/3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{3 u - 3}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 u - 3}{u^{2}}\, du = - \int \frac{3 u - 3}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{3 u - 3}{u^{2}} = \frac{3}{u} - \frac{3}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u}\, du = 3 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{u^{2}}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{u}$

            El resultado es: $3 \log{\left(u \right)} + \frac{3}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(u \right)} - \frac{3}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 \sqrt[3]{x} - 3 \log{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{-1 + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{x^{\frac{2}{3}}} = - \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{u}} - 1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{u}} - 1}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{u}} - 1}{u}\, du$

            1. que $u = \sqrt[3]{\frac{1}{u}}$.

               Luego que $du = - \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{u}} du}{3 u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{3 u - 3}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3 u - 3}{u}\, du = - \int \frac{3 u - 3}{u}\, du$

                  1. que $u = 3 u$.

                     Luego que $du = 3 du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{u - 3}{u}\, du$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{u - 3}{u} = 1 - \frac{3}{u}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{3}{u}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u}\, du$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(u \right)}$

                        El resultado es: $u - 3 \log{\left(u \right)}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $3 u - 3 \log{\left(3 u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u + 3 \log{\left(3 u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}} + 3 \log{\left(3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}} - 3 \log{\left(3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $3 \sqrt[3]{x} - 3 \log{\left(3 \sqrt[3]{x} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \sqrt[3]{x} + 3 \log{\left(3 \sqrt[3]{x} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- 3 \sqrt[3]{x} + \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 \sqrt[3]{x} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 \sqrt[3]{x} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$