Integral de (x+2)/((√x+1)-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{2} + 4\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, du = 4 u$

         El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} + 4 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 4 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 2}{\left(\sqrt{x} + 1\right) - 1} = \frac{x}{\left(\sqrt{x} + 1\right) - 1} + \frac{2}{\left(\sqrt{x} + 1\right) - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 u^{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{\left(\sqrt{x} + 1\right) - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{\left(\sqrt{x} + 1\right) - 1}\, dx$

         1. que $u = \sqrt{x}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 4 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(x + 6\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(x + 6\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(x + 6\right)}{3}+ \mathrm{constant}$