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Resolución de integrales/ ((arsinx-1)^3)/(sqrt(1-x^2))

Integral de ((arsinx-1)^3)/(sqrt(1-x^2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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 |                   
 |               3   
 |  (asin(x) - 1)    
 |  -------------- dx
 |      ________     
 |     /      2      
 |   \/  1 - x       
 |                   
/                    
0
∫00(asin⁡(x)−1)31−x2 dx\int\limits_{0}^{0} \frac{\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx 
Integral((asin(x) - 1)^3/sqrt(1 - x^2), (x, 0, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=asin⁡(x)−1u = \operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1.

      Luego que du=dx1−x2du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} y ponemos dudu:

      ∫u3 du\int u^{3}\, du

      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (asin⁡(x)−1)44\frac{\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1\right)^{4}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (asin⁡(x)−1)31−x2=asin⁡3(x)−3asin⁡2(x)+3asin⁡(x)−11−x2\frac{\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{\operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)} - 3 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 3 \operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

    2. que u=asin⁡(x)u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}.

      Luego que du=dx1−x2du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} y ponemos dudu:

      ∫(u3−3u2+3u−1) du\int \left(u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3u2) du=−3∫u2 du\int \left(- 3 u^{2}\right)\, du = - 3 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u3- u^{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u du=3∫u du\int 3 u\, du = 3 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u22\frac{3 u^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

        El resultado es: u44−u3+3u22−u\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{3 u^{2}}{2} - u

      Si ahora sustituir uu más en:

      asin⁡4(x)4−asin⁡3(x)+3asin⁡2(x)2−asin⁡(x)\frac{\operatorname{asin}^{4}{\left(x \right)}}{4} - \operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)} + \frac{3 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2} - \operatorname{asin}{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (asin⁡(x)−1)31−x2=asin⁡3(x)1−x2−3asin⁡2(x)1−x2+3asin⁡(x)1−x2−11−x2\frac{\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{\operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{3 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=asin⁡(x)u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}.

        Luego que du=dx1−x2du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} y ponemos dudu:

        ∫u3 du\int u^{3}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        asin⁡4(x)4\frac{\operatorname{asin}^{4}{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3asin⁡2(x)1−x2) dx=−3∫asin⁡2(x)1−x2 dx\int \left(- \frac{3 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx

        1. que u=asin⁡(x)u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}.

          Luego que du=dx1−x2du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          asin⁡3(x)3\frac{\operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −asin⁡3(x)- \operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3asin⁡(x)1−x2 dx=3∫asin⁡(x)1−x2 dx\int \frac{3 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = 3 \int \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx

        1. que u=asin⁡(x)u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}.

          Luego que du=dx1−x2du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} y ponemos dudu:

          ∫u du\int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          asin⁡2(x)2\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3asin⁡2(x)2\frac{3 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−11−x2) dx=−∫11−x2 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx

          ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: −asin⁡(x)- \operatorname{asin}{\left(x \right)}

      El resultado es: asin⁡4(x)4−asin⁡3(x)+3asin⁡2(x)2−asin⁡(x)\frac{\operatorname{asin}^{4}{\left(x \right)}}{4} - \operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)} + \frac{3 \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2} - \operatorname{asin}{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (asin⁡(x)−1)44\frac{\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1\right)^{4}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (asin⁡(x)−1)44+constant\frac{\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(asin⁡(x)−1)44+constant\frac{\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                      
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 |              3                       4
 | (asin(x) - 1)           (asin(x) - 1) 
 | -------------- dx = C + --------------
 |     ________                  4       
 |    /      2                           
 |  \/  1 - x                            
 |                                       
/
∫(asin⁡(x)−1)31−x2 dx=C+(asin⁡(x)−1)44\int \frac{\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = C + \frac{\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)} - 1\right)^{4}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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