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Resolución de integrales/ (x^2-1)/((4x+1)(2x+1)(x+2))

Integral de (x^2-1)/((4x+1)(2x+1)(x+2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                               
  /                               
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 |              2                 
 |             x  - 1             
 |  --------------------------- dx
 |  (4*x + 1)*(2*x + 1)*(x + 2)   
 |                                
/                                 
0
∫01x2−1(2x+1)(4x+1)(x+2) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} - 1}{\left(2 x + 1\right) \left(4 x + 1\right) \left(x + 2\right)}\, dx 
Integral((x^2 - 1)/((((4*x + 1)*(2*x + 1))*(x + 2))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−1(2x+1)(4x+1)(x+2)=−1514(4x+1)+12(2x+1)+17(x+2)\frac{x^{2} - 1}{\left(2 x + 1\right) \left(4 x + 1\right) \left(x + 2\right)} = - \frac{15}{14 \left(4 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)} + \frac{1}{7 \left(x + 2\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1514(4x+1)) dx=−15∫14x+1 dx14\int \left(- \frac{15}{14 \left(4 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{15 \int \frac{1}{4 x + 1}\, dx}{14}

        1. que u=4x+1u = 4 x + 1.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫14u du\int \frac{1}{4 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du4\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)4\frac{\log{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(4x+1)4\frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −15log⁡(4x+1)56- \frac{15 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(2x+1) dx=∫12x+1 dx2\int \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}

        1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x+1)4\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫17(x+2) dx=∫1x+2 dx7\int \frac{1}{7 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{7}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+2)7\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7}

      El resultado es: log⁡(x+2)7+log⁡(2x+1)4−15log⁡(4x+1)56\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4} - \frac{15 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−1(2x+1)(4x+1)(x+2)=x2−18x3+22x2+13x+2\frac{x^{2} - 1}{\left(2 x + 1\right) \left(4 x + 1\right) \left(x + 2\right)} = \frac{x^{2} - 1}{8 x^{3} + 22 x^{2} + 13 x + 2}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−18x3+22x2+13x+2=−1514(4x+1)+12(2x+1)+17(x+2)\frac{x^{2} - 1}{8 x^{3} + 22 x^{2} + 13 x + 2} = - \frac{15}{14 \left(4 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)} + \frac{1}{7 \left(x + 2\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1514(4x+1)) dx=−15∫14x+1 dx14\int \left(- \frac{15}{14 \left(4 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{15 \int \frac{1}{4 x + 1}\, dx}{14}

        1. que u=4x+1u = 4 x + 1.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫14u du\int \frac{1}{4 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du4\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)4\frac{\log{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(4x+1)4\frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −15log⁡(4x+1)56- \frac{15 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(2x+1) dx=∫12x+1 dx2\int \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}

        1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x+1)4\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫17(x+2) dx=∫1x+2 dx7\int \frac{1}{7 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{7}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+2)7\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7}

      El resultado es: log⁡(x+2)7+log⁡(2x+1)4−15log⁡(4x+1)56\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4} - \frac{15 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−1(2x+1)(4x+1)(x+2)=x28x3+22x2+13x+2−18x3+22x2+13x+2\frac{x^{2} - 1}{\left(2 x + 1\right) \left(4 x + 1\right) \left(x + 2\right)} = \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 22 x^{2} + 13 x + 2} - \frac{1}{8 x^{3} + 22 x^{2} + 13 x + 2}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x28x3+22x2+13x+2=114(4x+1)−16(2x+1)+421(x+2)\frac{x^{2}}{8 x^{3} + 22 x^{2} + 13 x + 2} = \frac{1}{14 \left(4 x + 1\right)} - \frac{1}{6 \left(2 x + 1\right)} + \frac{4}{21 \left(x + 2\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫114(4x+1) dx=∫14x+1 dx14\int \frac{1}{14 \left(4 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{4 x + 1}\, dx}{14}

          1. que u=4x+1u = 4 x + 1.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫14u du\int \frac{1}{4 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du4\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)4\frac{\log{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(4x+1)4\frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4x+1)56\frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−16(2x+1)) dx=−∫12x+1 dx6\int \left(- \frac{1}{6 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{6}

          1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x+1)12- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫421(x+2) dx=4∫1x+2 dx21\int \frac{4}{21 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{21}

          1. que u=x+2u = x + 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x+2)21\frac{4 \log{\left(x + 2 \right)}}{21}

        El resultado es: 4log⁡(x+2)21−log⁡(2x+1)12+log⁡(4x+1)56\frac{4 \log{\left(x + 2 \right)}}{21} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{12} + \frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−18x3+22x2+13x+2) dx=−∫18x3+22x2+13x+2 dx\int \left(- \frac{1}{8 x^{3} + 22 x^{2} + 13 x + 2}\right)\, dx = - \int \frac{1}{8 x^{3} + 22 x^{2} + 13 x + 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          18x3+22x2+13x+2=87(4x+1)−23(2x+1)+121(x+2)\frac{1}{8 x^{3} + 22 x^{2} + 13 x + 2} = \frac{8}{7 \left(4 x + 1\right)} - \frac{2}{3 \left(2 x + 1\right)} + \frac{1}{21 \left(x + 2\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫87(4x+1) dx=8∫14x+1 dx7\int \frac{8}{7 \left(4 x + 1\right)}\, dx = \frac{8 \int \frac{1}{4 x + 1}\, dx}{7}

            1. que u=4x+1u = 4 x + 1.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫14u du\int \frac{1}{4 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du4\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)4\frac{\log{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(4x+1)4\frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(4x+1)7\frac{2 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{7}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−23(2x+1)) dx=−2∫12x+1 dx3\int \left(- \frac{2}{3 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{2 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{3}

            1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x+1)3- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫121(x+2) dx=∫1x+2 dx21\int \frac{1}{21 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{21}

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+2)21\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{21}

          El resultado es: log⁡(x+2)21−log⁡(2x+1)3+2log⁡(4x+1)7\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{21} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{3} + \frac{2 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+2)21+log⁡(2x+1)3−2log⁡(4x+1)7- \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{21} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{3} - \frac{2 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{7}

      El resultado es: log⁡(x+2)7+log⁡(2x+1)4−15log⁡(4x+1)56\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4} - \frac{15 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x+2)7+log⁡(2x+1)4−15log⁡(4x+1)56+constant\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4} - \frac{15 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x+2)7+log⁡(2x+1)4−15log⁡(4x+1)56+constant\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4} - \frac{15 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                
 |                                                                                 
 |             2                                                                   
 |            x  - 1                    15*log(1 + 4*x)   log(1 + 2*x)   log(2 + x)
 | --------------------------- dx = C - --------------- + ------------ + ----------
 | (4*x + 1)*(2*x + 1)*(x + 2)                 56              4             7     
 |                                                                                 
/
∫x2−1(2x+1)(4x+1)(x+2) dx=C+log⁡(x+2)7+log⁡(2x+1)4−15log⁡(4x+1)56\int \frac{x^{2} - 1}{\left(2 x + 1\right) \left(4 x + 1\right) \left(x + 2\right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4} - \frac{15 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{56}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  15*log(4)   15*log(5/4)   log(3/2)   log(3)   3*log(2)
- --------- - ----------- + -------- + ------ + --------
      56           56          4         7         28
−15log⁡(4)56−15log⁡(54)56+3log⁡(2)28+log⁡(32)4+log⁡(3)7- \frac{15 \log{\left(4 \right)}}{56} - \frac{15 \log{\left(\frac{5}{4} \right)}}{56} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{28} + \frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{7} 
=
= 
  15*log(4)   15*log(5/4)   log(3/2)   log(3)   3*log(2)
- --------- - ----------- + -------- + ------ + --------
      56           56          4         7         28
−15log⁡(4)56−15log⁡(54)56+3log⁡(2)28+log⁡(32)4+log⁡(3)7- \frac{15 \log{\left(4 \right)}}{56} - \frac{15 \log{\left(\frac{5}{4} \right)}}{56} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{28} + \frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{7} 
-15*log(4)/56 - 15*log(5/4)/56 + log(3/2)/4 + log(3)/7 + 3*log(2)/28
Respuesta numérica [src] 
-0.0985227817909403
-0.0985227817909403

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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