Integral de e^(-x^2)*x^5 dx

1. que $u = - x^{2}$.

   Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

   $\int \left(- \frac{u^{2} e^{u}}{2}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u^{2} e^{u}\, du = - \frac{\int u^{2} e^{u}\, du}{2}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + u e^{u} - e^{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{x^{4} e^{- x^{2}}}{2} - x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(\frac{x^{4}}{2} + x^{2} + 1\right) e^{- x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(\frac{x^{4}}{2} + x^{2} + 1\right) e^{- x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(\frac{x^{4}}{2} + x^{2} + 1\right) e^{- x^{2}}+ \mathrm{constant}$