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Resolución de integrales/ (lnx)^2/ 1/x*(1+(lnx)^2)

Integral de 1/x*(1+(lnx)^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  E               
  /               
 |                
 |         2      
 |  1 + log (x)   
 |  ----------- dx
 |       x        
 |                
/                 
2
∫2elog⁡(x)2+1x dx\int\limits_{2}^{e} \frac{\log{\left(x \right)}^{2} + 1}{x}\, dx 
Integral((1 + log(x)^2)/x, (x, 2, E))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−log⁡(1u)2+1u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 1}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(1u)2+1u du=−∫log⁡(1u)2+1u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 1}{u}\, du

        1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos dudu:

          ∫(−u2−1) du\int \left(- u^{2} - 1\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

            El resultado es: −u33−u- \frac{u^{3}}{3} - u

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(1u)33−log⁡(1u)- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33+log⁡(1u)\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)33+log⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x)2+1x=log⁡(x)2x+1x\frac{\log{\left(x \right)}^{2} + 1}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)2u du=−∫log⁡(1u)2u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)33- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)33\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)33+log⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x)33+log⁡(x)+constant\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x)33+log⁡(x)+constant\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                     
 |                                      
 |        2                3            
 | 1 + log (x)          log (x)         
 | ----------- dx = C + ------- + log(x)
 |      x                  3            
 |                                      
/
∫log⁡(x)2+1x dx=C+log⁡(x)33+log⁡(x)\int \frac{\log{\left(x \right)}^{2} + 1}{x}\, dx = C + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
2.002.052.102.152.202.252.302.352.402.452.502.552.602.652.700.51.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                3   
4            log (2)
- - log(2) - -------
3               3
−log⁡(2)−log⁡(2)33+43- \log{\left(2 \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}^{3}}{3} + \frac{4}{3} 
=
= 
                3   
4            log (2)
- - log(2) - -------
3               3
−log⁡(2)−log⁡(2)33+43- \log{\left(2 \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}^{3}}{3} + \frac{4}{3} 
4/3 - log(2) - log(2)^3/3
Respuesta numérica [src] 
0.529177935443745
0.529177935443745

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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