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Resolución de integrales/ (7x-3)/ (7x-3)COS7x

Integral de (7x-3)COS7x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  (7*x - 3)*cos(7*x) dx
 |                       
/                        
0
∫01(7x−3)cos⁡(7x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(7 x - 3\right) \cos{\left(7 x \right)}\, dx 
Integral((7*x - 3)*cos(7*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=7xu = 7 x.

      Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos dudu:

      ∫(ucos⁡(u)7−3cos⁡(u)7) du\int \left(\frac{u \cos{\left(u \right)}}{7} - \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{7}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ucos⁡(u)7 du=∫ucos⁡(u) du7\int \frac{u \cos{\left(u \right)}}{7}\, du = \frac{\int u \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: usin⁡(u)7+cos⁡(u)7\frac{u \sin{\left(u \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3cos⁡(u)7) du=−3∫cos⁡(u) du7\int \left(- \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{7}\right)\, du = - \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(u)7- \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{7}

        El resultado es: usin⁡(u)7−3sin⁡(u)7+cos⁡(u)7\frac{u \sin{\left(u \right)}}{7} - \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xsin⁡(7x)−3sin⁡(7x)7+cos⁡(7x)7x \sin{\left(7 x \right)} - \frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7x−3)cos⁡(7x)=7xcos⁡(7x)−3cos⁡(7x)\left(7 x - 3\right) \cos{\left(7 x \right)} = 7 x \cos{\left(7 x \right)} - 3 \cos{\left(7 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7xcos⁡(7x) dx=7∫xcos⁡(7x) dx\int 7 x \cos{\left(7 x \right)}\, dx = 7 \int x \cos{\left(7 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(7x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=7xu = 7 x.

            Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

            ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(7x)7 dx=∫sin⁡(7x) dx7\int \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}\, dx = \frac{\int \sin{\left(7 x \right)}\, dx}{7}

          1. que u=7xu = 7 x.

            Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

            ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(7x)49- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{49}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(7x)+cos⁡(7x)7x \sin{\left(7 x \right)} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(7x)) dx=−3∫cos⁡(7x) dx\int \left(- 3 \cos{\left(7 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(7 x \right)}\, dx

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(7x)7- \frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{7}

      El resultado es: xsin⁡(7x)−3sin⁡(7x)7+cos⁡(7x)7x \sin{\left(7 x \right)} - \frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=7x−3u{\left(x \right)} = 7 x - 3 y que dv⁡(x)=cos⁡(7x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=7\operatorname{du}{\left(x \right)} = 7.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=7xu = 7 x.

        Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

        ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. que u=7xu = 7 x.

      Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

      ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7x−3)cos⁡(7x)=7xcos⁡(7x)−3cos⁡(7x)\left(7 x - 3\right) \cos{\left(7 x \right)} = 7 x \cos{\left(7 x \right)} - 3 \cos{\left(7 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7xcos⁡(7x) dx=7∫xcos⁡(7x) dx\int 7 x \cos{\left(7 x \right)}\, dx = 7 \int x \cos{\left(7 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(7x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=7xu = 7 x.

            Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

            ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(7x)7 dx=∫sin⁡(7x) dx7\int \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}\, dx = \frac{\int \sin{\left(7 x \right)}\, dx}{7}

          1. que u=7xu = 7 x.

            Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

            ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(7x)49- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{49}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(7x)+cos⁡(7x)7x \sin{\left(7 x \right)} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(7x)) dx=−3∫cos⁡(7x) dx\int \left(- 3 \cos{\left(7 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(7 x \right)}\, dx

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(7x)7- \frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{7}

      El resultado es: xsin⁡(7x)−3sin⁡(7x)7+cos⁡(7x)7x \sin{\left(7 x \right)} - \frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(7x)−3sin⁡(7x)7+cos⁡(7x)7+constantx \sin{\left(7 x \right)} - \frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(7x)−3sin⁡(7x)7+cos⁡(7x)7+constantx \sin{\left(7 x \right)} - \frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                             3*sin(7*x)   cos(7*x)             
 | (7*x - 3)*cos(7*x) dx = C - ---------- + -------- + x*sin(7*x)
 |                                 7           7                 
/
∫(7x−3)cos⁡(7x) dx=C+xsin⁡(7x)−3sin⁡(7x)7+cos⁡(7x)7\int \left(7 x - 3\right) \cos{\left(7 x \right)}\, dx = C + x \sin{\left(7 x \right)} - \frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   cos(7)   4*sin(7)
- - + ------ + --------
  7     7         7
−17+cos⁡(7)7+4sin⁡(7)7- \frac{1}{7} + \frac{\cos{\left(7 \right)}}{7} + \frac{4 \sin{\left(7 \right)}}{7} 
=
= 
  1   cos(7)   4*sin(7)
- - + ------ + --------
  7     7         7
−17+cos⁡(7)7+4sin⁡(7)7- \frac{1}{7} + \frac{\cos{\left(7 \right)}}{7} + \frac{4 \sin{\left(7 \right)}}{7} 
-1/7 + cos(7)/7 + 4*sin(7)/7
Respuesta numérica [src] 
0.340264092745494
0.340264092745494

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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