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Resolución de integrales/ sin^2/ sin2x/ sin2x/(1-sin^2x)

Integral de sin2x/(1-sin^2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  p               
  -               
  4               
  /               
 |                
 |    sin(2*x)    
 |  ----------- dx
 |         2      
 |  1 - sin (x)   
 |                
/                 
p                 
-                 
6
∫p6p4sin⁡(2x)1−sin⁡2(x) dx\int\limits_{\frac{p}{6}}^{\frac{p}{4}} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(sin(2*x)/(1 - sin(x)^2), (x, p/6, p/4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)1−sin⁡2(x)=−sin⁡(2x)sin⁡2(x)−1\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(2x)sin⁡2(x)−1) dx=−∫sin⁡(2x)sin⁡2(x)−1 dx\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)−1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)−1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1}\, dx

        1. que u=sin⁡2(x)−1u = \sin^{2}{\left(x \right)} - 1.

          Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(sin⁡2(x)−1)2\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(sin⁡2(x)−1)\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(sin⁡2(x)−1)- \log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}

    Método #2

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)1−sin⁡2(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)1−sin⁡2(x) dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx

      1. que u=1−sin⁡2(x)u = 1 - \sin^{2}{\left(x \right)}.

        Luego que du=−2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)2- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(1−sin⁡2(x))2- \frac{\log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(1−sin⁡2(x))- \log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)1−sin⁡2(x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)1−sin⁡2(x)\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)1−sin⁡2(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)1−sin⁡2(x) dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx

      1. que u=1−sin⁡2(x)u = 1 - \sin^{2}{\left(x \right)}.

        Luego que du=−2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)2- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(1−sin⁡2(x))2- \frac{\log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(1−sin⁡2(x))- \log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −log⁡(−cos⁡2(x))- \log{\left(- \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(−cos⁡2(x))+constant- \log{\left(- \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(−cos⁡2(x))+constant- \log{\left(- \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                      
 |                                       
 |   sin(2*x)              /        2   \
 | ----------- dx = C - log\-1 + sin (x)/
 |        2                              
 | 1 - sin (x)                           
 |                                       
/
∫sin⁡(2x)1−sin⁡2(x) dx=C−log⁡(sin⁡2(x)−1)\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C - \log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
     /        2/p\\      /        2/p\\
- log|-1 + sin |-|| + log|-1 + sin |-||
     \         \4//      \         \6//
log⁡(sin⁡2(p6)−1)−log⁡(sin⁡2(p4)−1)\log{\left(\sin^{2}{\left(\frac{p}{6} \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\sin^{2}{\left(\frac{p}{4} \right)} - 1 \right)} 
=
= 
     /        2/p\\      /        2/p\\
- log|-1 + sin |-|| + log|-1 + sin |-||
     \         \4//      \         \6//
log⁡(sin⁡2(p6)−1)−log⁡(sin⁡2(p4)−1)\log{\left(\sin^{2}{\left(\frac{p}{6} \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\sin^{2}{\left(\frac{p}{4} \right)} - 1 \right)} 
-log(-1 + sin(p/4)^2) + log(-1 + sin(p/6)^2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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