Integral de (1-x)^10 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u^{10}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{11}}{11}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - x\right)^{11}}{11}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - x\right)^{10} = x^{10} - 10 x^{9} + 45 x^{8} - 120 x^{7} + 210 x^{6} - 252 x^{5} + 210 x^{4} - 120 x^{3} + 45 x^{2} - 10 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 10 x^{9}\right)\, dx = - 10 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 45 x^{8}\, dx = 45 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 120 x^{7}\right)\, dx = - 120 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 15 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 210 x^{6}\, dx = 210 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $30 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 252 x^{5}\right)\, dx = - 252 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 42 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 210 x^{4}\, dx = 210 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $42 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 120 x^{3}\right)\, dx = - 120 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 30 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 45 x^{2}\, dx = 45 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 10 x\right)\, dx = - 10 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{x^{11}}{11} - x^{10} + 5 x^{9} - 15 x^{8} + 30 x^{7} - 42 x^{6} + 42 x^{5} - 30 x^{4} + 15 x^{3} - 5 x^{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 1\right)^{11}}{11}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 1\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 1\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$