Integral de (2x+3)e^-2x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{2 x + 3}{e^{2}} = \frac{2 x^{2}}{e^{2}} + \frac{3 x}{e^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x^{2}}{e^{2}}\, dx = \frac{2 \int x^{2}\, dx}{e^{2}}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3 e^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{e^{2}}\, dx = \frac{3 \int x\, dx}{e^{2}}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2 e^{2}}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3 e^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 e^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{2 x + 3}{e^{2}} = \frac{2 x^{2} + 3 x}{e^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x^{2} + 3 x}{e^{2}}\, dx = \frac{\int \left(2 x^{2} + 3 x\right)\, dx}{e^{2}}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}}{e^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(4 x + 9\right)}{6 e^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(4 x + 9\right)}{6 e^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(4 x + 9\right)}{6 e^{2}}+ \mathrm{constant}$