Integral de 3x^3-x^2+3x-2÷x(x^2+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2}{x} \left(x^{2} + 1\right)\right)\, dx = - \int \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)}{x}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)}{x}\, dx = 2 \int \frac{x^{2} + 1}{x}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = x^{2}$.

               Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{u + 1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 1}{u}\, du}{2}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{u + 1}{u} = 1 + \frac{1}{u}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     El resultado es: $u + \log{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} + \log{\left(x^{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2} - \log{\left(x^{2} \right)}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$