Sr Examen

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Integral de ln(ln(x))/(x*ln(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  E               
 e                
  /               
 |                
 |  log(log(x))   
 |  ----------- dx
 |    x*log(x)    
 |                
/                 
E                 
eeelog(log(x))xlog(x)dx\int\limits_{e}^{e^{e}} \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\, dx
Integral(log(log(x))/((x*log(x))), (x, E, exp(E)))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(log(x))u = \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}.

      Luego que du=dxxlog(x)du = \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}} y ponemos dudu:

      udu\int u\, du

      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(log(x))22\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}

    Método #2

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      log(u)udu\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du

      1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

        Luego que du=duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos du- du:

        (log(1u)u)du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          log(1u)udu=log(1u)udu\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

          1. que u=log(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=duudu = - \frac{du}{u} y ponemos du- du:

            (u)du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              udu=udu\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: log(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(u)22\frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(log(x))22\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log(log(x))22+constant\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(log(x))22+constant\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                 
 |                         2        
 | log(log(x))          log (log(x))
 | ----------- dx = C + ------------
 |   x*log(x)                2      
 |                                  
/                                   
log(log(x))xlog(x)dx=C+log(log(x))22\int \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}
Gráfica
34567891011121314150.01.0
Respuesta [src]
1/2
12\frac{1}{2}
=
=
1/2
12\frac{1}{2}
1/2
Respuesta numérica [src]
0.5
0.5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.