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Resolución de integrales/ (x^2)/ (x^4)/ (x^2)/((x^4)-81)

Integral de (x^2)/((x^4)-81) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |      2     
 |     x      
 |  ------- dx
 |   4        
 |  x  - 81   
 |            
/             
0
∫01x2x4−81 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{4} - 81}\, dx 
Integral(x^2/(x^4 - 81), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x2x4−81=12(x2+9)−112(x+3)+112(x−3)\frac{x^{2}}{x^{4} - 81} = \frac{1}{2 \left(x^{2} + 9\right)} - \frac{1}{12 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{12 \left(x - 3\right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫12(x2+9) dx=∫1x2+9 dx2\int \frac{1}{2 \left(x^{2} + 9\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx}{2}

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=9, context=1/(x**2 + 9), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=9, context=1/(x**2 + 9), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=9, context=1/(x**2 + 9), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 9), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: atan⁡(x3)6\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−112(x+3)) dx=−∫1x+3 dx12\int \left(- \frac{1}{12 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{12}

      1. que u=x+3u = x + 3.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+3)12- \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{12}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫112(x−3) dx=∫1x−3 dx12\int \frac{1}{12 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{12}

      1. que u=x−3u = x - 3.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−3)12\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{12}

    El resultado es: log⁡(x−3)12−log⁡(x+3)12+atan⁡(x3)6\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6}

  3. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x−3)12−log⁡(x+3)12+atan⁡(x3)6+constant\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x−3)12−log⁡(x+3)12+atan⁡(x3)6+constant\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                                   /x\              
 |     2                         atan|-|              
 |    x             log(3 + x)       \3/   log(-3 + x)
 | ------- dx = C - ---------- + ------- + -----------
 |  4                   12          6           12    
 | x  - 81                                            
 |                                                    
/
∫x2x4−81 dx=C+log⁡(x−3)12−log⁡(x+3)12+atan⁡(x3)6\int \frac{x^{2}}{x^{4} - 81}\, dx = C + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-0.020.01
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  log(4)   atan(1/3)   log(2)
- ------ + --------- + ------
    12         6         12
−log⁡(4)12+atan⁡(13)6+log⁡(2)12- \frac{\log{\left(4 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{6} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{12} 
=
= 
  log(4)   atan(1/3)   log(2)
- ------ + --------- + ------
    12         6         12
−log⁡(4)12+atan⁡(13)6+log⁡(2)12- \frac{\log{\left(4 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{6} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{12} 
-log(4)/12 + atan(1/3)/6 + log(2)/12
Respuesta numérica [src] 
-0.00413717264722174
-0.00413717264722174

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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