Integral de (e^(2*x)-4*e^x)/e^x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u - 4}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u - 4}{u} = 1 - \frac{4}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{u}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $u - 4 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} - 4 \log{\left(e^{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 4 e^{x} + e^{2 x}}{e^{x}} = e^{x} - 4$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-4\right)\, dx = - 4 x$

      El resultado es: $- 4 x + e^{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 4 e^{x} + e^{2 x}}{e^{x}} = e^{- x} e^{2 x} - 4 e^{- x} e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = e^{- x}$.

         Luego que $du = - e^{- x} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 e^{- x} e^{x}\right)\, dx = - 4 \int e^{- x} e^{x}\, dx$

         1. que $u = e^{x}$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(e^{x} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(e^{x} \right)}$

      El resultado es: $e^{x} - 4 \log{\left(e^{x} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $e^{x} - 4 \log{\left(e^{x} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} - 4 \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} - 4 \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$