Integral de (1-x^2)^3*x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{u^{4}}{2} + \frac{3 u^{3}}{2} - \frac{3 u^{2}}{2} + \frac{u}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u^{4}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 u^{3}}{2}\, du = \frac{3 \int u^{3}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3 u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{3 \int u^{2}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

         El resultado es: $- \frac{u^{5}}{10} + \frac{3 u^{4}}{8} - \frac{u^{3}}{2} + \frac{u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{10}}{10} + \frac{3 x^{8}}{8} - \frac{x^{6}}{2} + \frac{x^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(1 - x^{2}\right)^{3} = - x^{9} + 3 x^{7} - 3 x^{5} + x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{9}\right)\, dx = - \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{10}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{7}\, dx = 3 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{5}\right)\, dx = - 3 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{6}}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{x^{10}}{10} + \frac{3 x^{8}}{8} - \frac{x^{6}}{2} + \frac{x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(- 4 x^{6} + 15 x^{4} - 20 x^{2} + 10\right)}{40}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(- 4 x^{6} + 15 x^{4} - 20 x^{2} + 10\right)}{40}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(- 4 x^{6} + 15 x^{4} - 20 x^{2} + 10\right)}{40}+ \mathrm{constant}$